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 Los puntos de infinito
 Desargues y Pascal
Redescubrimiento
Dualidad
El modelo  proyectivo del plano  hiperbólico
Planos proyectivos finitos
Modelos del plano proyectivo real

 
 

EL REDESCUBRIMIENTO DE LA GEOMETRIA PROYECTIVA


Después de un periodo de olvido de las aportaciones geométricas de Desargues, Pascal, Phillipe de la Hire y otros, debido a prioridades de la ciencia en pro de cálculos efectivos, el siglo XIX supone el resurgimiento de la geometría pura. Este resurgimiento vino a partir de Gaspar Monge (1746-1818), quien desde la Escuela Politécnica de París crea una nueva escuela de geómetras en Francia. Uno de los más dotados, Jean-Victor Poncelet (1788-1867), era oficial del ejército de Napoleón. Aprovechando la circunstancia de su cautiverio en la prisión de Saratoff durante la guerra de Francia contra Rusia, estudió en profundidad el trabajo de Monge sobre las transformaciones geométricas y lo generalizó volviendo a redescubrir las transformaciones proyectivas. Estas transformaciones le permitían unificar el estudio de las cónicas y dar a la geometría un nivel de generalidad que hasta entonces él consideraba propio del Álgebra.

Los geómetras posteriores se dividieron en dos grupos: aquéllos que, como Poncelet, querían razonar exclusivamente en términos geométricos (geómetras sintéticos), y aquéllos que preferían emplear el Álgebra como herramienta (geómetras algebraicos). Al primer grupo pertenecen, entre otros, Karl Georg Christian von Staudt (1798-1867) en Alemania, Jacob Steiner (1796-1863), un suizo que enseñó la mayor parte de su vida en Berlín, Michel Chasles (1793-1880) en Francia, Arthur Cayley (1821-1895) en Inglaterra y Luigi Cremona (1830-1903) en Italia. Al segundo pertenecen August Ferdinand Möbius (1790-1868) y Julius Plücker (1801-1868).

La geometría sintética encontró problemas, sobre todo en la teoría de intersección, y tuvo que dejar paso a otros enfoques a finales del siglo XIX. En lo que se refiere a la tendencia algebraica, a Möbius se debe la introducción de las coordenadas homogéneas, y Plücker, cuyo punto de vista fue más lejos, definió incluso las coordenadas de rectas, para ver éstas como puntos de otro espacio (esto está en la base de la construcción posterior de las Grasmannianas). Plücker también formalizó algebraicamente los principios de dualidad de Poncelet y Gergonne.

Las disputas entre las dos corrientes fueron duras y cada lado acusaba al otro de mezclar conceptos métricos y proyectivos. Esta controversia supuso por ejemplo que Plücker tuviese que abandonar su puesto en la Universidad de Berlín debido a los ataques de los discípulos de Steiner.

Según iba avanzando el siglo XIX fueron cobrando fuerza las técnicas algebraicas y analíticas, así como las de Felix Klein (1849-1925) sobre grupos de transformaciones, que permitieron situar a la Geometría Proyectiva en un papel más central; a esto también contribuyó sin duda la fundamentación de esta disciplina llevada a cabo por von Staudt.