GEOMETRÍA ANALÍTICA

Tema 1. Álgebras analíticas. Series numéricas. Series de potencias. Teoremas de división y de preparación de Weierstrass. Criterios jacobianos. Complexificación. [1],[5],[6].

Tema 2. Haces analíticos. Funciones analíticas. Principio de identidad. Principio del módulo máximo. Teorema de extensión de Riemann. Teoremas de coherencia de Cartan-Oka. [2],[6].

Tema 3. Conjuntos analíticos. Conjuntos y gérmenes analíticos. Irreducibilidad. Dimensión. Complexificación. [4],[5].

Tema 4. Parametrización local. De conjuntos analíticos complejos (forma primera). De conjuntos analíticos reales. Aplicaciones: conexión local, intersecciones, dimensión y puntos regulares, descomposición de Bruhat-Whitney.[4].

Tema 5. Recubrimientos analíticos. Teoría general. Aplicaciones: parametrización local de conjuntos analíticos complejos (forma segunda), compacidad, irreducibilidad global. Curvas analíticas complejas: parametrizaciones y multiplicidad. teorema de Newton-Puiseux. [2],[5],[7].

Tema 6. Teoremas de ceros. Teorema de Rúckert. Dimensión de intersecciones. Teorema de Risler. Primera desigualdad de  Lojasiewicz. Lemas de selección de curvas. Criterio de especialización. El problema 17o. de Hilbert para gérmenes analíticos reales. Curvas analíticas reales. [2],[5].

Tema 7. Coherencia. Coherencia de conjuntos analíticos complejos y analiticidad del lugar singular. Conjuntos analíticos reales casi-coherentes. Conjuntos analíticos reales coherentes. Contraejemplos de Bruhat, Cartan y Whitney. [4].

Tema 8. Conjuntos semianalíticos. Lema de Thom generalizado. Aplicaciones: componentes conexas, adherencias y proyecciones de conjuntos semianalíticos. Contraejemlplo de Hironaka. Estratificaciones normales de Lojasiewicz. Aplicaciones: puntos regulares y dimensión. [4].

Tema 9. Normalidad. Conjuntos analíticos normales. Codimensión del lugar singular de un conjunto analítico normal. Analiticidad del lugar de no normalidad en el caso complejo. Aplicaciones: dimensión pura, coherencia y analiticidad del lugar singular en el caso real. [4].

Tema 10. Lema de Remmert-Stein-Thullen. Lema de Remmert-Stein-Thullen. Conjuntos analíticos y algebraicos del espacio proyectivo. Teorema de Chow. Teorema de Rudin. Aplicación: irreducibilidad analítica y conexión de conjuntos algebraicos complejos. [4].

Tema 11. Espacios analíticos. Modelos locales. Espacios analíticos y aplicaciones analíticas. Ejemplos y propiedades elementales. [2]

Tema 12. Teorema de la aplicación propia. Fibras y rango de aplicaciones analíticas. Lemas de semicontinuidad. Teorema de Khulmann-Whitney. Aplicaciones: independencia analítica y algebraica de funciones meromorfas, teorema de Siegel y variedades de Moishezon. [7].
 

Bibliografía

[1] S. Abhyankar: Local analytic geometry. Academic Press, 1964.

[2] R.C. Gunning & H. Rossi: Analytic functions of several complex variables. Prentice Hall, 1965.

[3] S. Lojasiewicz: Sur les ensembles semianalytiques. I.H.E.S. Bures sur Yvette, 1965.

[4] R. Narasimhan: Introduction to the theory of analytic spaces. LNM, Springer, 1966.

[5] J.M. Ruiz: The basic theory of power series. Vieweg Verlag, 1993.

[6] J.-C. Tougeron: Idéaux des fonctions différentiables. Ergeb. Math., Springer, 1972.

[7] H. Whitney: Complex analytic varieties. Addison-Wesley, 1972.