ÁLGEBRA LINEAL

Tema 1. Espacios vectoriales. Espacios y subespacios vectoriales. Intersección, suma y suma directa de subespacios. Espacios cociente.

Tema 2. Dimensión. Independencia lineal. Sistemas de generadores. Bases y coordenadas. Fórmulas de la dimensión.

Tema 3. Aplicaciones lineales. Definición y propiedades básicas. Factorización canónica y fórmula de la dimensión. Aplicaciones lineales inyectivas y aplicaciones lineales suprayectivas.

Tema 4. Matrices. Operaciones con matrices. Matrices y aplicaciones lineales. Matrices regulares e isomorfismos lineales.

Tema 5. Dualidad. Formas lineales de un espacio vectorial. Bases duales. Coordenadas respecto de bases duales.

Tema 6. Determinantes. Construcción y propiedades básicas. Inversión de una matriz regular.

Tema 7. Sistemas de ecuaciones lineales. Rango de una matriz. Teorema de Rouché-Frobenius. Regla de Cramer.

Tema 8. Diagonalización de isomorfismos lineales. Vectores propios y valores propios. Polinomio característico. Teorema de Cayley-Hamilton. Subespacios propios y diagonalización de endomorfismos lineales.

Tema 9. Clasificación de endomorfismos lineales. Semejanza de matrices. Subespacios invariantes. Bases de Jordan. Formas de Jordan sobre los complejos. Formas de Jordan sobre los reales.

Tema 10. Formas bilineales simétricas. Definición y propiedades básicas. Radical de una forma. Formas regulares. Bases ortonormales y diagonalización.

Tema 11. Clasificación de formas bilineales simétricas. Congruencia de matrices. El rango clasifica sobre los complejos. Ley de inercia de Sylvester. El rango y la signatura clasifican sobre los reales.

Tema 12. Cálculo de signaturas. Diagonalización simultánea por semejanza y congruencia. Signatura y raíces positivas del polinomio característico. Regla de Descartes.

Tema 13. Espacio afín. Subespacios afines. Intersección y suma de subespacios afines. Paralelismo. Dimensión. Fórmulas de intersección. Coordenadas y ecuaciones.

Tema 14. Aplicaciones afines. Definición y propiedades básicas. Ejemplos. Caracterización axiomática de aplicaciones afines.

Tema 15. Espacio euclídeo. Producto escalar euclídeo. Norma y distancia euclídeas. Isometrías.