TOPOLOGÍA ELEMENTAL


Tema 1. Espacios topológicos. Abiertos. Cerrados. Adherencia e interior. Frontera. Puntos de acumulación. Entornos y bases de entornos. Bases y subbases de abiertos. Conjuntos densos. Topología relativa.

Tema 2. Aplicaciones continuas. La noción de continuidad. Caracterizaciones de la continuidad por abiertos, cerrados, interiores y adherencias. Caracterización por recubrimientos. Homeomorfismos. Aplicaciones abiertas y cerradas. Composición de aplicaciones continuas.

Tema 3. Construcción de topologías. Subespacios e inmersiones. Espacios cocientes e identificaciones. Factorización de aplicaciones continuas. Productos de espacios topológicos. Sumas de espacios topológicos. Caracterizaciones de las topologías iniciales y finales.

Tema 4. Separación. Separación de puntos en un espacio topológico. Espacios de Kolmogoroff, de Fréchet, de Hausdorff. Relaciones entre estas nociones y caracterizaciones (generizaciones, puntos cerrados, diagonal cerrada). Comportamiento topológico de estas propiedades de separación. Aplicaciones continuas en espacios de Hausdorff.

Tema 5. Numerabilidad. Convergencia de sucesiones en espacios topológicos: noción general y anomalías. Axioma 1º de numerabilidad. Axioma 2º de numerabilidad. Separabilidad. Espacios de Lindelöf. Algunas relaciones entre estas propiedades. Comportamiento topológico de las mismas.

Tema 6. Compacidad. Espacios compactos. Subespacios cerrados e imágenes continuas. Teorema de Tychonoff. Subconjuntos compactos del espacio afín. Funciones continuas en espacios compactos. Espacios localmente compactos. Conjuntos localmente cerrados. Compactificación de Alexandroff.

Tema 7. Conexión. Definición de espacio conexo. Teorema del pivote y variantes. Cadenas en espacios conexos. Adherencias de conjuntos conexos. Componentes conexas. Imágenes continuas. Productos de espacios conexos. Espacios localmente conexos. Identificaciones de espacios localmente conexos.

Tema 8. Conexión por caminos. Caminos en un espacio topológico. Conexión por caminos. Conexión local por caminos. Componentes conexas por caminos. Comportamiento topológico de la conexión por caminos. Diferencias entre la conexión y la conexión por caminos: ejemplos célebres.

Tema 9. Grupo fundamental. Homotopía y homotopía relativa. Producto de caminos y asociatividad. Lazos y grupo fundamental de un espacio topológico. Funtorialidad del grupo fundamental. Espacios simplemente conexos. Conjuntos convexos y esferas.

Tema 10. Elevación de homotopías. Lema de elevación para recubridores. El grupo fundamental de los espacios proyectivos reales. El grupo fundamental de la circunferencia.

Tema 11. Aplicaciones en dimensión 2. El teorema fundamental del álgebra. El punto fijo de Brouwer. La esfera peluda de Brouwer. Invarianza de la dimensión. Varios Borsuk-Ulam. Invarianza del dominio.

Tema 12. Tipo de homotopía. Retractos de deformación y espacios contráctiles. Equivalencias de homotopía. Variedades topológicas. Formulación de la clasificación de superficies compactas y de la conjetura de Poincaré.