Geometry and Topology of Manifolds

Surfaces and Beyond

Conjuntamente con Vicente Muñoz y Juan Ángel Rojo, hemos publicado el libro Geometry and Topology of Manifolds: Surfaces and Beyond, en la colección Graduate Studies in Mathematics de la American Mathematical Society

El texto está orientado a estudiantes de últimos cursos de Grado y Máster, buscando aportar una visión global sobre las relaciones existentes entre distintos tipos de estructuras geométricas en variedades (estructuras topológicas, diferenciables, riemannianas, complejas, algebraicas, etc.), con especial énfasis en el estudio exhaustivo del caso de superficies.

El libro puede usarse como bibliografía básica para un curso avanzado, como ocurre en asignaturas del Máster en Matemáticas Avanzadas de la Universidad Complutense de Madrid. No obstante, también contiene importantes resultados que pueden ser utilizados independientemente para cursos de geometría diferencial o topología algebraica, como la clasificación de superficies compactas, fórmula del grado-género, homología/cohomología en varias versiones, el teorema de Gauss-Bonnet o estudio de las variedades de curvatura constante, entre otros. Asimismo, incluye una nueva prueba del teorema de uniformización mediante el uso de flujo de curvatura y orbifolds.

Geometry and Topology of Manifolds: Surfaces and Beyond.
Graduate Studies in Mathematics (American Mathematical Society). ISBN: 978-1-4704-6132-4

Tabla de contenidos

  1. Topological surfaces
    • Topological and smooth manifolds
    • PL structures
    • Planar representations of surfaces
    • Orientability
    • Classification of compact surfaces
  2. Algebraic topology
    • Homotopy theory
    • Covers
    • Singular homology
    • Simplicial homology
    • De Rham cohomology
    • Poincaré duality
  3. Riemannian geometry
    • Riemannian metrics. Curvature. Geodesics
    • Riemannian surfaces and the Gauss-Bonnet theorem
    • Isotropic, symmetric, and homogeneous manifolds
  4. Constant curvature
    • Positive constant curvature
    • Vanishing constant curvature
    • Negative constant curvature
    • Classical geometries
  5. Chapter 5. Complex geometry
    • Complex manifolds
    • Kähler manifolds
    • Complex curves
    • Classification of complex curves
    • Elliptic curves
  6. Chapter 6. Global analysis
    • Conformal structures
    • Hodge theory
    • Metrics of constant curvature
    • The curvature flow