Jul 14

Euler y la serie infinita

Recientemente me suscribí a los juegos de ingenio que la editorial RBA publica con cierta regularidad, siempre digo que es cara pero pero ya van muchos años lamentándome por no tenerla y por fin me decidí.

Hoy me ha llegado una entrega y en el librito que se adjunta con el juego venia contada la historia de la serie infinita y como Euler dio la solución. Es una colección de divulgación, por tanto, los detalles se dejan al lector, pero esos detalles para un matemático son la verdadera esencia. Aquí van.

El problema era calcular la siguiente suma:

 1 + \dfrac{1}{2^2}+ \dfrac{1}{3^2}+ \dfrac{1}{4^2} + \cdots

O escrito en lenguaje actual, la suma de la serie:

\displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}

Euler introdujo la siguiente serie polinómica:

 P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots

que trató como un polinomio infinito. Y se dedicó a estudiar sus propiedades:

  • P(0)=1
  • P(x)= x \left( \dfrac{1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots}{x} \right) = \dfrac{x-\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \dfrac{x^9}{9!} - \cdots}{x}

En este punto Euler expresó el seno como una serie  sen(x)= \displaystyle \sum_{n=0}^{\infty} \dfrac{(-1)^n}{(2n+1)!} x^{2n+1}, y por tanto

P(x)= \dfrac{sen(x)}{x}

A continuación, estudió los ceros no triviales de P(x), que son los ceros de sen(x), es decir, x= \pm k \pi para  k=1,2,3 . Hay que tener en cuenta que P(0)=1.

Conocidas sus raíces Euler pensó en factorizar P(x), como x= \pm k \pi expresó los factores como  1-\dfrac{x}{\pm k \pi} , de esta forma:

 P(x)= 1 - \dfrac{x^2}{3!} + \dfrac{x^4}{5!} - \dfrac{x^6}{7!} + \dfrac{x^8}{9!} - \cdots =

\left( 1- \dfrac{x}{\pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{- \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-2 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{3 \pi} \right) \cdot \left( 1- \dfrac{x}{-3 \pi} \right) =

 \left( 1-\dfrac{x^2}{\pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{4 \pi^2} \right) \cdot \left( 1-\dfrac{x^2}{9 \pi^2} \right) \cdots

Euler se encontró con dos expresiones para P(x)

Operó la segunda forma y obtuvo:

 1-\left( \dfrac{1}{\pi^2} +\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) x^2 + \cdots

 Euler igualó los coeficientes de x^2, obteniendo que:

-\dfrac{1}{3!}= -\left( \dfrac{1}{\pi^2}+\dfrac{1}{4\pi^2}+\dfrac{1}{9\pi^2} \right) =-\dfrac{1}{\pi^2} \left( 1 + \dfrac{1}{4} + \dfrac{1}{9} + \dfrac{1}{16} + \cdots \right)=-\dfrac{1}{\pi^2} \displaystyle \sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2}

Y por tanto,

\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty} \dfrac{1}{n^2} = \dfrac{\pi^2}{6}

Notas

Técnicamente presenta algunos errores. Factorizar  \dfrac{sen(x)}{x} por sus raíces no garantiza que el resultado sea correcto, pues por ejemplo e^x \dfrac{sen(x)}{x} tiene las mismas raíces y obviamente son expresiones distintas.

Euler también da por supuesto la convergencia de ciertas series infinitas necesarias para su demostración.

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