Trisección de un ángulo





Un poco de historia 


El problema de la trisección del ángulo es uno de los tres problemas clásicos: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
En los tres casos se afirma la imposibilidad de resolverlos mediante regla y compás. ¿Por qué esos dos instrumentos?

Para los griegos, en particular para Platón, las dos curvas perfectas eran la recta y la circunferencia, y ambas se dibujan mediante la regla y el compás. Por tanto, para ellos la única Geometría admisible es la que involucra estos dos instrumentos y ninguno más. Además, hay que añadir que la regla no era graduada y el compás no guardaba la medidas, es decir, al levantarlo del papel se cerraba.
Es difícil dar una fecha exacta en cuanto a cuando apareció el problema de la trisección un ángulo primero, sabemos que  Hipócrates, que hizo la primera contribución principal a los problemas de ajustar un círculo y de duplicar el volumen de un cubo, también estudió el  problema de la trisección de un ángulo.

Hay que avertir que la imposibilidad de trisecar algunos ángulos mediante regla y compás no quiere decir que no se puedan trisecar por otros procedimientos. De hecho Arquímedes lo logró empleando la espiral que lleva su nombre, y nosotros presentamos a continuación un procedimiento que entra por los ojos y se apoya en que la suma de la serie de término general $ \displaystyle \frac{(-1)^{n+1}}{2^n} $ es $ \displaystyle  \frac{1}{3}$ 

Profundiza

Aunque es un problema clásico, realmente hasta 1.837 Pierre Wantzel no demostró de forma rigurosa que existen ángulos no trisecables con regla y compás.



Pero ¿por qué? Veámoslo.


Con una regla y un compás se pueden hacer dos construcciones geométricas: trazar la recta que pasa por dos puntos y dibujar una circunferencia dado su centro y su radio.
Simplemente con esas dos operaciones podemos sumar, restar, multiplicar e incluso dividir longitudes de segmentos, es decir,  podemos dibujar segmentos cuya longitud
sea un número racional cualquiera. 
Sin embargo, con estas dos operaciones también podemos construir números que no son racionales, por ejemplo, $ \displaystyle  \sqrt{2}$  ya que es la longitud de la diagonal del cuadrado de lado 1. Esto muestra que mediante una regla y un compás podemos extender los números racionales. Para seguir avanzando necesitamos introducir nueva terminología.

Definición:  Dados dos cuerpos K y K′, se dice que K′ es una extensión de K si   $  K \subset K'$   y las operaciones de K son las de K'.

Por ejemplo,   $ \mathbb{Q}(\sqrt{2})$, que es el cuerpo más pequeño que contiene a $\mathbb{Q} $ y $ \sqrt{2}$  es una extensión de $ \mathbb{Q} $
Aún necesitamos alguna definición más:

Definición:  Se define el grado de una extensión $ K \subset K'$ y se simboliza por [K':K] como la dimensión de K' considerado como espacio vectorial sobre K. 

Siguiendo con nuestro ejemplo, los elementos de $ \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ son de la forma $ a+b \sqrt{2} $  con  $ a,b \in  \mathbb{Q}$, por lo que claramente  tiene dimensión dos como espacio vectorial sobre $ \mathbb{Q} $. Por tanto el grado de la extensión es igual a 2.

Yendo un poco más allá se comprueba que esa dimensión como espacio vectorial coincide con el grado del polinomio irreducible con coeficientes en Q que tiene por raíz a $ \sqrt{2} $. En nuestro ejemplo, el polinomio irreducible es $ x^2-2$. Una vez más comprobamos que el grado de la extensión es 2. Esto es así en general, y no sólo en este ejemplo.

Además, se comprueba muy sencillamente la llamada transitividad del grado, que afirma que dadas extensiones de cuerpos $ K_1\subset K_2\subset K_3$, se cumple que 

?[K_3:K_1]=[K_3:K_2]\cdot[K_2:K_1]


Las longitudes de los segmentos que los griegos sabían dibujar mediante regla y compáss son números irracionales $ \alpha $ con la propiedad de que
$ [ \mathbb{Q}(\alpha):\mathbb{Q}] $ es una potencia de 2. Veamos qué irracionales aparecen al intentar trisecar el ángulo de amplitud $ \frac{\pi}{3}$. Denotamos $  A= \frac{\pi}{9}$.

Hagamos alguna cuenta:



 cos(\frac{\pi}{3})= cos(3A)=cos(2A + A)=
 cos(2A)cos(A) - sen(2A)sen(A)=
 (cos^2(A)-sen^2(A))cos(A) - 2sen(A)cos(A)sen(A)=
 cos^3(A)-sen^2(A)cos(A) - 2sen^2(A)cos(A)=
 cos^3(A)-cos(A)+cos^3(A)-2cos(A) + 2cos^3(A)= 4cos^3(A)-3cos(A)


Por tanto, $ u=cos(\frac{\pi}{9})$ debería satisfacer la ecuación $ 4x^3-3x-\frac{1}{2}=0$, es decir, debería ser raíz de un polinomio irreducible con coeficientes en $ \mathbb{Q}$. Por tanto, la extensión $ \mathbb{Q} \subset \mathbb{Q}(u)$ es de grado 3.

La pregunta que surge inmediatamente es ¿se puede conseguir con regla y compás alguna extensión de grado tres?

Con regla y compás podemos construir nuevos putnos a partir de otros construidos previamente mediante una de estas tres operaciones:
  1. La intersección de dos rectas que unen puntos previamente construidos. En este caso las coordenadas del punto de intersección satisfacen un polinomio de grado uno, y por tanto, no hay extensión propiamente dicha.
  2. La intersección de una recta que une dos puntos ya construidos y una circunferencia cuyo centro se construyó anteriormente y cuyo radio mide una longitud ya dibujada. En esta caso las coordenadas de los dos puntos de intersección son raíces de un polinomio de grado uno o dos.
  3. La intersección de dos circunferencias. Este caso coincide con el anterior, pues la intersección de dos circunferencias coincide con la intersección de cualquiera de ellas con el eje radical de ambas, que es la recta que une los puntos de intersección.
Observamos que cada vez que añadimos un punto a nuestro cuerpo, obtenemos o el mismo cuerpo o una extensión de grado dos.

Por tanto, si vamos añadiendo puntos a $ \mathbb{Q}$,  tendremos las extensiones

$ \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(P_1)\subset\mathbb{Q}(P_1,P_2)\subset\cdots\subset\mathbb{Q}(P_1,\dots,P_{n-1},P_n),$ 
 $ \mathbb{Q}(P_i)$ es el cuerpo que contiene a $\mathbb{Q}$ y a las dos coordenadas del punto
$ P_i$
Cuya traducción en grados es:
 [\mathbb{Q}(P_1,\dots,P_{n-1},P_n):\mathbb{Q}]=\prod_{j=1}^{n}[\mathbb{Q}(P_1,\dots,P_{j-1})(P_j):\mathbb{Q}(P_1,\dots,P_{j-1})]

Resulta por tanto, que el grado de la extensión será:  [\mathbb{Q}(P_1,\dots,P_{n-1},P_n):\mathbb{Q}]= 2^t   con $ t \leq n+1$. 

Sin embargo, ya hemos demostrado que la extensión $ \mathbb{Q}\subset\mathbb{Q}(P)$, donde P es uno de los puntos en que la circunferencia de centro el origen y radio 1 corta a la recta que pasa por el origen y forma ángulo de $ \frac{\pi}{9}$ con el eje horizontal tiene grado 3, que no es potencia de 2. Esto demuestra la imposibilidad de trisecar mediante regla y compás el ángulo de $ \frac{\pi}{3}$.


Bibliografía

WANTZEL, P (1837): Journal of Liouville, Volume II, pp. 366-372
GAMBOA, J.M., RUIZ J.M.: Anillos y Cuerpos Conmutativos, Uned 2002

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