REPRESENTACIONES DE GRUPOS. GRUPOS CLASICOS. GRUPOS DE LIE

[Métodos avanzados de Geometría y Topología]

 

Objetivos, metodología y método de evaluación:

 

Se pretende introducir al alumno en los conceptos fundamentales de la teoría de grupos finitos y de Lie, así como las representaciones lineales asociadas a los mismos. 

El enfoque elegido es fundamentalmente geométrico, con el fin de ilustrar la importancia de los grupos de transformaciones. Se distribuirán hojas de problemas cuya 

resolución adecuada, añadida a una participación activa en clase y la posible exposición oral de algun tema, podrán eximir al alumno del examen final, si bien éste se 

ofrecerá para fijar o subir la calificación.

 

 

PROGRAMA DE LA ASIGNATURA

 

1. Grupos finitos. Representaciones lineales. Subrepresentaciones. Irreducibilidad. Productos

    tensoriales simétricos y alternados. El grupo simétrico.

 

2. Caracteres. Lemas de Schur. Relaciones de ortogonalidad. Descomposición de representaciones.

    Tablas de caracteres.

 

3. Grupos de Lie de transformaciones lineales. Construcción de los grupos clásicos. Intersección de

    grupos. Subgrupos e inmersiones (regulares).

 

4. Algebra de Lie de un grupo de Lie. Algebras de Lie matriciales. Propiedades. Tensor de estructura. 

    Forma de Killing.

 

5. Subálgebras e ideales. Teorema de Ado. La aplicación exponencial. Teoremas de Lie. Fórmula de 

    Baker-Campbell-Hausdorff.

 

6. Algebras de Lie semisimples. Caracterización. Subálgebras de Cartan. Descomposición de Weyl.

    Algebras de Lie simples.

 

7. Problema de clasificación. Sistemas de raíces. Matriz de Cartan y diagrama de Dynkin. Grupo de Weyl.

 

8. Representaciones lineales de álgebras de Lie. Representaciones de su(2). Sistemas de pesos. Representaciones 

    fundamentales.

 

9. Representaciones tensoriales y espinorales. Indice de una representación. Operadores de Casimir.

    Inducción y subducción de representaciones.

 

10. Aplicaciones. Grupos puntuales en cristalografía. Grupos de Lie e integrabilidad de sistemas clásicos. 

      El grupo SU(3) y la clasificación de hadrones.

 

 

BIBLIOGRAFIA   Lista bibliográfica orientativa

 

1. J. S. Lomont, Applications of Finite Groups, Dover Publ. 1993.

 

2. M. Hamermesh, Group Theory and its Application to Physical Problems, Addison-Wesley 1962.

 

3. G. de B. Robinson, Representation Theory of the Symmetric Group, Edinburgh University Press‎ 1961.

 

4. J. P. Serre, Algèbres de Lie semi-simples complexes, W. A. Benjamin 1966.

 

5. A. O. Barut, R. Raczka, Theory of Group Representations and Applications, World Scientific 1987.

 

6. D. P. Zhelobenko. Compact Lie Groups and their Representations, Am. Math. Soc. 1973.

 

7. W. Lucha, F. F. Schöberl, Gruppentheorie, Wissenschaftsverlag 1993.

 

8. R. N. Cahn, Semisimple Lie Algebras and Their Representations, Benjamin 1984.

 

9. F. Iachello, Lie Algebras and Applications, LNP 790 Springer Verlag 2006.

 

10. R. Campoamor Stursberg, M. Rausch de Traubenberg, Group Theory in Physics. A Practitioner’s Guide,

     World Scientific 2018.

 

11. W. Pfeifer. The Lie Algebras su(N). An Introduction, Springer, New York, 2003.

 

 

MATERIAL COMPLEMENTARIO:

 

Grupos finitos:                                                                      

 

 

Propiedades de grupos finitos	Teoría estructural. Simetrías
Teorema pq de Burnside
Representaciones lineales de grupos finitos	Otro método para el cálculo de caracteres
Tablas de caracteres (Atkins, Childs & Phillips)	Caracteres del grupo simétrico (Bivins et al., 1954)
Clasificación de grupos finitos simples
Sólidos recortables	Sólidos [platónicos]

 

 

Teorema de Frobenius:

 

Derivada de Lie	Derivada de Lie II
Operador coborde	Teorema de Frobenius (II)

 

Grupos de Lie. Representaciones:

 

Grupos clásicos	Algebras de Lie clásicas
Teorema de Cartan	Representación adjunta
Toros maximales	Subálgebras de Cartan
Tipos de álgebras de Lie	Älgebras resolubles y nilpotentes
Sistemas de raíces I	Sistemas de raíces II
Grupo de Weyl	Estructura de álgebras semisimples
Alfa-cadenas en sl(3,C)	Matriz de Cartan. Diagrama de Dynkin
El álgebra excepcional F4	Construcción de sistemas de raíces para ALSC
Variedades riemannianas	Curvatura en grupos compactos
Grupos fundamentales. Invariantes de Casimir	Métrica de Gödel

 

Construcción gráfica del sistema de raíces G_2

 

Clasificación de álgebras simples complejas [según la referencia [10]]

 

Conmutadores de F_4 en la representación fundamental 26-dimensional

 

 

 

PROBLEMAS PUNTUABLES:

 

Presentaciones de grupos

 

Representaciones

 

Caracteres

 

Distribuciones

 

Grupos de Lie

 

Algebras resolubles

 

Grupos de Lie y conexiones

 

Bosones I

 

 

Material complementario II:

 

Tutorial interactivo para la visualización de las operaciones de simetría en

Los grupos puntuales.

 

Symmetry groups

 

 

ENLACES DE INTERÉS:

 

Atlas de grupos finitos. Contiene presentaciones y las tablas de caracteres de varias familias

de grupos finitos, predominantemente simples.  

 

Atlas of Finite Groups

 

Otro procedimiento para el cálculo de las tablas de caracteres de grupos finitos (G. Allen, 1968,

NASA-TN-D-4763)

 

An efficient method

 

Programas de cálculo simbólico relacionados con la teoría de representaciones de grupos y

álgebras de Lie, con diversas aplicaciones físicas.

 

Programa LiE para álgebras semisimples y representaciones

 

Schur Group Theory Software

 

FORTRAN program for character computation

 

 

Propiedades generales de grupos puntuales y simetría molecular.

 

Molecular Symmetry

 

Revista Academia de Ciencias de Zaragoza 37 (2011). Conferencia conmemorativa de G. Racah

sobre métodos de la teoría de grupos en física. 

 

Actas G. Racah Centennial Conference (2011)