VARIEDADES DIFERENCIABLES
Grupo B. Curso 2019-2020
1. Variedades diferenciables. Definición
de variedad. Construcción de variedades. Particiones diferenciables de la
unidad. Variedades con borde.
2. Cálculo en variedades. Espacio tangente.
Derivada de aplicaciones entre variedades. Derivaciones.
3. Campos de vectores. Campos y flujos.
Integración de campos y ecuaciones diferenciales. Derivada de Lie.
4. Distribuciones. Teorema de Fröbenius. Campos coordenados.
5. Formas diferenciales. Aplicaciones multilineales alternadas. Determinantes. Formas en
variedades. Diferencial exterior.
6. Integración en variedades. Orientación
de variedades. Orientación de hipersuperficies.
Aplicación de Gauss y curvatura. Integral de una forma diferencial. Teorema de
Stokes.
Bibliografía:
§ W. M. Boothby. An Introduction to Differential
Manifolds and Riemannian Geometry, Academic Press, N. Y., 1975
§ J.M. Gamboa, J.M. Ruiz. Introducción al estudio de las variedades diferenciables.
Sanz y Torres, Madrid 2016.
§ S. Kumaresan. A Course in
Differential Geometry and Lie Groups, Hind. Book Agency, Delhi, 2002.
§ A. Montesdeoca. Introducción a
las variedades diferenciables. Accesible en https://amontes.webs.ull.es/apuntes/geomvari.pdf
§ P. K. Rashevski. Geometría riemanniana, URSS, Moscú, 2016.
§ M. Spivak. Integración en
variedades, Ed. Reverté, Barcelona, 1988.
Bibliografía específica para formas diferenciales:
§ H. Holmann, H. Rummler. Alternierende Differentialformen, Bibl. Inst. Wissenschaftsverlag,
Zürich, 1972.
§ M. Schreiber. Differential Forms: a Heuristic
Introduction, Springer, N.Y., 1977.
§ W. Ślebodziński. Formes extérieures et leurs applications, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa.
Hojas de ejercicios:
Complementos y formularios:
Ejemplo
de espacio sin estructuras diferenciables
Campos de Killing de la
métrica de Gödel
Referencia móvil en superficies
Formas y ecuaciones de Maxwell
Integración. Teorema de Stokes
Exámenes con solución
Exámenes de muestra:
Observación: Los
exámenes son meramente a título ilustrativo y están exentos de carácter
comparativo, al corresponder a titulaciones extintas
con programas cuyos
contenidos difieren de la actual asignatura de variedades diferenciables.
Enlaces externos. Material adicional:
Visualización y manipulación de variedades con el paquete
simbólico MATHEMATICA©:
https://www.mathematica-journal.com/2009/11/an-algorithmic-approach-to-manifolds/
Ecuaciones de Maxwell y dimensiones suplementarias
http://aflb.ensmp.fr/AFLB-272/aflb272p241.pdf