Asignatura: Topología de Variedades

Carácter: Optativa
Trimestre: 2º
Créditos: 7.5
Horario: Lunes a viernes, 12:00-13:00
Aula: S-107B
Profesor: Vicente Muñoz Velázquez
Despacho: 440
Tutorías: Lunes y miércoles, 13:30-15:30. Viernes, 11:00-12:00 y 14:30-15:30

Prerrequisitos:

Es muy conveniente haber cursado las siguientes asignaturas:
223 GEOMETRIA DIFERENCIAL DE CURVAS Y SUPERFICIES
232 VARIEDADES DIFERENCIABLES EN EL ESPACIO EUCLIDEO
220 ELEMENTOS DE GEOMETRIA DIFERENCIAL Y TOPOLOGIA
279 TOPOLOGIA ALGEBRAICA

La asignatura se relaciona con las siguientes:
241 GEOMETRIA DE VARIEDADES DIFERENCIABLES
224 CURVAS ALGEBRAICAS
250 GEOMETRIA RIEMANNIANA
230 VARIABLE COMPLEJA Y ANALISIS FUNCIONAL

Programa de la Asignatura:

1. Superficies topológicas:
• Variedades topológicas y variedades diferenciables.
• Topología cocientes. Variedades PL.
• Variedades con borde. Orientabilidad. Suma conexa.
• Clasificación de superficies compactas.
2. Propiedades topológicas:
• Grupo fundamental.
• Recubridores. Recubridor universal. Recubridor orientado.
• Grupos de homología. Característica de Euler-Poincaré.
• Grupos de cohomología de De Rham.
• Grado de aplicaciones entre superficies.
3. Geometría riemanniana:
• Métricas riemannianas.  Curvatura. Geodésicas.
• Teorema de Gauss-Bonnet.
• Variedades homogéneas, simétricas e isotrópicas.
• Grupos de holonomía.
4. Métricas de curvatura constante:
• Formas espaciales. Grupos de isometrías.
• Geometría elíptica. La esfera de Riemann.
• Geometría hiperbólica. El postulado de las paralelas.
• Métricas de curvatura constante en superficies.
5. Geometría compleja:
• Variedades complejas. Estructuras casi-complejas. Integrabilidad.
• Estructuras hermíticas y Kähler. Variedades proyectivas.
• Estructuras conformes.
• Transformaciones conformes. Transformaciones de Möbius.
• Curvas elípticas. Función  r de Weierstrass.
• Grupos Fuchsianos. Espacio de Teichmüller.
6. Uniformización:
• Operador de Laplace-Beltrami.
• Flujo de la curvatura.
• Existencia de métricas de curvatura constante en superficies..

Bibliografía:

• W.S. Massey, A basic course in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 127. Springer-Verlag, New York, 1991.
• M.P. Do Carmo, Geometría Riemanniana, 2ª edición, Birkhäuser, 1988.
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, 1983.
• F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, London Mathematical Society, Student Texts 23, Cambridge, 1992.
• R. Bott, L.W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Math, 82. Springer-Verlag, 1982.
• V. Muñoz, Cien años de la Conjetura de Poincaré, La Gaceta de la RSME, Vol. 7 (2004) 629-653.

Calificación:

La calificación se basará en un trabajo de curso individual.
Los alumnos que lo deseen pueden realizar, alternativamente, un examen final.