La distinción entre matemáticos y acusmáticos es transmitida por múltiples canales. Iámblico es quien narra más por extenso la división entre ellos y su narración parece haber sido tomada de la obra perdida de Aristóteles sobre los pitagóricos. Al parecer fue Hipaso el principal representante de los matemáticos. Se debió de ocupar con notable éxito de hacer avanzar los conocimientos matemáticos. A principios del siglo V (500-480) entró en conflicto con los acusmáticos, ya que fue el primero en ofrecer por escrito al público en general "el secreto de la esfera de los doce pentágonos" (Iámblico, Vita Pyth.88), en castigo de lo cual murió en un naufragio. El "secreto de la esfaera de los doce pentágonos" alude a cierta construcción relacionada con el dodecaedro regular que los pitagóricos primitivos deseaban mantener en secreto, como el grueso de su doctrina en general. En otro lugar Iámblico mismo (Vita Pyth. 246-247) cuenta que aquél que reveló "la naturaleza del conmensurable y del inconmensurable a quienes no eran dignos de participar de tales conocimientos", fue expulsado de la comunidad. Los pitagóricos le erigieron una tumba como si para ellos ya hubiera muerto. Parece probable que fue Hipaso mismo este personaje que reveló por primera vez la existencia de longitudes inconmensurables y precisamente a través de un estudio del pentágono regular como veremos más adelante. Iámblico acusa a Hipaso de haberse atribuído el mérito de sus descubrimientos, "siendo así que todos proceden de El", es decir de Pitágoras. Se puede pensar razonablemente que Hipaso fue un gran matemático que efectivamente dió por primera vez con la existencia de longitudes inconmensurables, es decir tales que una no es un múltiplo de una parte de la otra, dando con ello al traste con la acariciada creencia de los pitagóricos primitivos de que todo debe estar regido por los números enteros y las proporciones entre ellos. La versión que Iámblico cuenta, acusando a Hipaso de plagio, proviene según la conjetura de van der Waerden, del círculo de pitagóricos matemáticos anónimos entre 480-430 de quienes la tomó Aristóteles mismo. Estos pitagóricos fueron potentes matemáticos con la estrategia común de atribuir a Pitágoras mismo sus descubrimientos matemáticos.
¿Como pudo tener lugar el descubrimiento
de Hipaso de los inconmensurables?. En 1954 Kurt von Fritz publicó
un artículo importante, The Discovery of Incommensurability by
Hippasus of Metapontum, Annals of Mathematics 46 (1954), 242-264. De
acuerdo con sus investigaciones se puede pensar que fue más o menos
como sigue. Los pitagóricos primitivos estaban profundamente familiarizados
con el pentágono regular. Según parece el emblema que les
servía para reconocimiento mutuo era el pentagrama, es decir la
estrella de cinco puntas formada por las diagonales de un pentágono
regular. En sus cinco vértices solían colocar las letras
de la palabra ugieia, salud. Las razones de la especial veneración
de los pitagóricos por esta figura no nos es bien conocida, pero
uno se inclina a pensar que en ella, al igual que en la tetraktis, que
luego examinaremos más a fondo, encontraban armonías geométricas
y numéricas extraordinariamente llamativas. Es fácil ver
que todos los ángulos que aparecen en la figura son múltiplos
enteros del más pequeño de entre ellos (72º=2x36º,
108º=3x36º, 144º=4x36º, 180º=5x36º). Parece
natural que los pitagóricos se preguntaran sobre la proporción
en que se encuentran también los segmentos que aparecen en esta
figura.
Así como entre los pitagóricos acusmáticos, como es natural, apenas se pueden distinguir etapas evolutivas, entre los pitagóricos matemáticos que se dedicaron al desarrollo de la ciencia estas etapas se pueden diferenciar con cierta probabilidad. Así van der Waerden distingue cinco generaciones en el pitagorismo entre los años 530-360.
1ª Generación (530-500): Pitágoras.
2ª Generación (520-480): Hipaso de Metaponto, Alcmeon.
3ª Generación (480-430): Matemáticos anónimos.
4ª Generación (440-400): Filolao, Teodoro.
5ª Generación (400-360): Arquitas de Tarento.
Los matemáticos anónimos de la tercera generación debieron de constituir un grupo muy interesante del que Aristóteles se hace eco con admiración. De ellos habla como de los fundadores de la matemática tal como se cultivaba en su tiempo, una matemática bien adulta, rigurosa y ampliamente evolucionada. De ellos decía Aristóteles(según Iámblico De communi math. sci. 78) que "estiman mucho la exactitud de la argumentación en las ciencias matemáticas, porque solo ellas poseen demostraciones". Más adelante tendremos ocasión de examinar el fuerte impacto que dejaron en la geometría y en la aritmética, que quedó plasmado en los Elementos de Euclides.
Filolao, de la 4ª generación,
fue de estilo grandilocuente y ampuloso, sin mucho rigor matemático.
Su astronomía también carece de rigor científico.
Conocía y utilizaba los conocimientos matemáticos, pero su
lógica y su matemática resulta más bien floja.