UN POCO DE GEOMETRÍA DEL TRIÁNGULO
Coge una cuartilla
y unas tijeras. Recorta un triángulo bastante grande, que no sea
demasiado regular, ni equilátero, ni isósceles, ni rectángulo...
Algo parecido a éste pero en grande
Para no liarnos
con los vértices, ponles letras A, B, C. Vamos a aprovechar lo que
sabemos hacer plegando, para demostrar unas cuantas propiedades del triángulo.
Traza la perpendicular a BC por A, es decir, la altura correspondiente
al vértice A. El pie se va a llamar Ha. Pliega el triángulo
por la mitad de la altura de modo que A vaya a coincidir con Ha.
Así
Ahora comprueba que puedes plegar por Mc de
modo que B vaya a parar a Ha. ¿Podrías demostrar
que efectivamente se tiene que poder plegar así? Sólo se
trata de utilizar la igualdad de unos cuantos triángulos. Así
te ha quedado
¿Qué observas? Los ángulos A,B,C,
que han quedado ahora con sus vértices coincidiendo en Ha, suman
claramente 180º y el área del triángulo ABC es el doble
de la del rectángulo que has obtenido, es decir
área triángulo ABC = 2 x base rectángulo
x altura rectángulo = (1/2) base triángulo x altura triángulo
No es un descubrimiento muy llamativo, pero vamos a seguir
haciendo otros.
Recorta otro
triángulo como el de antes para no armarte un lío con los
pliegues que en él has hecho, porque ahora vamos a hacer muchos
más y más interesantes. Traza con un pliegue la mediatriz
correspondiente al lado BC. No tienes que hacer más que un pliegue
que haga coincidir B con C. Traza del mismo modo las mediatrices de los
otros dos lados. A mí me queda así
¿Qué observas?... ¡Las mediatrices
se cortan en un punto! ¿Sabrías demostrar que esto no es
una casualidad, que tenía que ser así? Recuerda: MaS
es mediatriz de BC. ¿Qué propiedad tienen todos sus puntos?
Todos, como Ma, están a igual distancia de B que de C.
Los de la mediatriz MbT de AC están a la misma distancia
de A que de C. Así el punto O, intersección de las dos mediatrices,
está a igual distancia de los tres vértices. Pero si está
a igual distancia de B que de A es que está sobre la mediatriz de
AB. Por lo tanto, las tres mediatrices pasan por O y así queda resuelto
el misterio. Además O está a la misma distancia de los tres
vértices y es, por tanto, el centro de una circunferencia que pasa
por A,B,C. ¿Tienes un compás a mano? ¡Compruébalo!
Vamos a seguir
haciendo experimentos. Como ya tienes los puntos medios de los lados, que
hemos llamado Ma, Mb y Mc, podemos, en el mismo triángulo, trazar
las medianas fácilmente mediante pliegues. Pliega primero de modo
que el pliegue contenga A y Ma, el pliegue que resulta es la mediana Ma.
Pliega para obtener las otras dos. A mí me resulta algo así
¿Qué observas?... ¡Las tres medianas
se cortan en un punto! Llámalo M. Ese punto se suele llamar baricentro.
Eso de bari tiene que ver con barómetro, con la presión
y con el peso. Verás por qué. Alisa bien tu triángulo
y recórtalo. Coloca tu lápiz vertical con la punta hacia
arriba y sobre la punta de tu lápiz coloca tu triángulo horizontal
de modo que M quede exactamente sobre la punta. ¡Tu triángulo
queda en equilibrio horizontalmente sobre la punta de tu lápiz!
(A menos que hayas hecho una chapuza horrible con los pliegues anteriores)
El punto M es el único con esta propiedad, es el centro de gravedad
de tu triángulo.
Plancha bien
tu triángulo. Con la punta de tu lápiz bien afilado hazle
un agujero cerca del vértice A y deja colgar el triángulo
pinchado en él. Verás que la línea vertical que pasa
por tu agujero viene a ser precisamente la que une el agujero al punto
M. Lo mismo pasa con cualquier otro punto donde hagas el agujero. El punto
M es el centro de todo el peso del triángulo. Sucede como si todo
el triángulo tuviese concentrado su peso en el punto M. Por eso
cuando pusiste el triángulo horizontal sobre tu lápiz con
la punta en M, el triángulo no sabía hacia qué lado
caerse y así se quedaba en equilibrio.
En tu triángulo
ABC tienes ya muchos dobleces. Vamos a hacer unos cuantos más antes
de mandarlo a la papelera. Pliega para trazar las tres alturas, como hicimos
al principio. Así
¡También las tres alturas se cortan en un
punto! Vamos a llamar a ese punto H. Se denomina el ortocentro del triángulo.
¿Por qué tendrá que ser así? Con un poco de
astucia resulta sencillo. Observa la figura siguiente obtenida trazando
por A la paralela a BC, por B la paralela a AC y por C la paralela a AB.
¿Qué observas?... Las alturas son las mediatrices
de los lados del triángulo que ha resultado. Como las mediatrices
de cualquier triángulo se cortan en un punto, nuestras alturas se
cortan en un punto.
Hemos obtenido
tres puntos O (el circuncentro, centro de la circunferencia circunscrita
al triángulo), M (baricentro) y H (ortocentro). ¿Cómo
están dispuestos estos tres puntos? Pliega tu triángulo por
MH. ¿Qué pasa? ¡El pliegue pasa también por
O! Esa recta se llama la recta de Euler, que parece que fue
quien primero descubrió esta propiedad de alineamiento de O, M y
H.
Si tienes
por ahí una regla, haz unas cuantas medidas conmigo.
- Mide MMa
- Mide MaA
- Mide MMb y MbB. Mide MMc y McC.
¿Observas
algo curioso? Probablemente no. Pues mira a ver si resulta MaA
= 2MMa, MbB = 2MMb, McC = 2MMc.
Mide ahora
OM y MH y observa que MH = 20M.
Todos estos
misterios se aclaran fácilmente con lo que probablemente sabes sobre
triángulos semejantes y homotéticos. Fíjate en la
figura siguiente
Fácilmente podrás comprobar que McMb
es paralelo a BC y McMb es paralelo a BC y McMb
= 1/2 BC. Lo mismo sucede con los otros lados del triángulo pequeño
MaMbMc.
Como MaS
es la medianta de MaMbMc correspondiente
a Ma, resulta que MaS= 1/2 AMa y MS =
1/2 MMa (M es el punto donde se cortan BMb y AMa).
Así resulta fácilmente MMa = 2MS y por tanto (segmentos
correspondientes en el triángulo grande ABC) MA = 2 MMa.
Así resulta que MMb corta a AMa en M que está
a doble distancia de A que de Ma. Haciendo lo mismo con McC,
resulta que CMc corta también a AMa en un
punto que está a doble distancia de A que de Ma, es decir,
corta a AMa en el mismo M de antes. Por tanto, las tres medianas
se cortan en un punto M. Hemos demostrado con esto lo que antes habíamos
comprobado con nuestros pliegues.

