NUMEROS EN POLIGONOS
 
 
        Un polígono convexo es aquél que no tiene entrantes, es decir, está todo él al mismo lado de cada uno de sus bordes. Un triángulo es un polígono convexo, un cuadrado también, pero este cuadrilátero no lo es
 
 
        La suma de los ángulos de un triángulo es de 180º. La suma de los ángulos de un cuadrado o de un rectangulo es de 4x90º=360º=2x180º. ¿Será 180 un número mágico para esto de los ángulos? ¿Cuánto vale la suma de los ángulos de un pentágono convexo o de un polígono convexo de n lados?
 
        Constrúyete un pentágono, mide con tu transportador de ángulos y suma. ¿Te sale más o menos 540º? Entonces has medido bien. Observa que 540º= 3 x 180º. De nuevo el 180 por medio. ¿Por qué tendrá que ser así? Fíjate cómo van las cosas. Vamos a tratar de medir la suma de los ángulos exteriores, es decir, de los señalados en la figura siguiente
 
 
Con un compás y con radio 2 cm. señala bien los arcos cuya suma quieres medir. Observa. Si trasladas paralelamente todos los arcos hasta tener su centro en un mismo punto 0, está claro que cada uno empieza donde el otro termina y que entre todos forman una circunferencia entera. Así resulta que la suma de todos los ángulos exteriores es 360º=2x180º. Y esto va a ser así también, haciendo lo mismo, cualquiera que sea el número de lados del polígono convexo que consideremos.
 
        ¿Cuál será ahora la suma de los ángulos interiores en el caso del pentágono? Es decir, ¿cuánto vale i1+i2+i3+i4+i5=Si? Observa que i1+e1=180º y así i1=180º-e1.
Por tanto i1+i2+i3+i4+i5=5x180º-(e1+e2+e3+e4+e5)=5x180º-2x180º=(5-2)x180º
Y exactamente del mismo modo, si tienes un polígono convexo de n lados, resulta que la suma de los ángulos exteriores es de 2x180º y la suma de los ángulos interiores es de (n-2)x180º.
 
        Vamos a hacer más números. ¿Cuántas diagonales hay en un polígono convexo? En un triángulo ninguna. En un cuadrado 2, en un rectángulo 2, en un pentágono convexo 5, en un exágono convexo 9, en un polígono convexo de 10 lados... muchísimas ¿no? Trazarlas y contarlas es un rollo.
 
 
Vamos a ver si podemos averiguar sin contar. ¿Cuántas salen de cada vértice V de un polígono de 10 lados? Es claro que los segmentos que van a vértices distintos de V y que no son adyacentes son los que nos dan las diagonales. Adyacentes hay 2 y así las diagonales que salen de V son 10-3=7. ¿Quiere esto decir que habrá 70 diagonales? Parecen muchas ¿no? Si por cada vértice contamos 7, entonces cada diagonal queda contada dos veces, una por cada vértice que la diagonal une. Así resulta que el número de diagonales es la mitad de 70, es decir, 35. Hay 35 diagonales en el decágono convexo. ¿Y en el polígono convexo de n lados? Ahora ya sabes lo que hay que hacer. El número de diagonales será n(n-3)/2=dn
 
Comprueba que efectivamente si n=3, d3=0; si n=4, d4=2; n=5, d5=5....Sin necesidad de contar sabemos que si n=20, d20=170.
 
        Otra cuenta interesante. Tienes un polígono convexo de n lados. Supongamos que al trazar las n(n-3)/2 diagonales no hay tres que pasan por un mismo punto que no sea vértice. ¿Cuál es el número de puntos interiores que quedan determinados por intersección de las diagonales?
 
Vamos a contar un poco, pintando
 
n=4       P4=1
 
n=5       P5=5
 
n=6       P6=15
 
n=7                                           me pierdo
 
        Vamos a tratar de pensar un poco. Cada punto interior, interior, intersección de dos diagonales ¿cómo queda determinado? naturalmente que por las dos diagonales que se cortan en él. ¿Y estas diagonales? Cada una por los dos vértices que une. Así para cada cuatro vértices A,B,C,D, que escojamos de nuestro polígono, estén donde estén, aunque al unirlos obtenemos seis rectas AB, AC, AD, BC, CD, sólo dos de ellas se cortan en el interior del polígono, las otras se cortan fuera o en el borde. Así cada cuatro vértices determinan un sólo punto interior y cada punto interior intersección de dos diagonales corresponde a un solo grupo de 4 vértices. Así es claro que hay tantos puntos interiores de intersección como grupos diferentes de cuatro vértices se puedan formar. ¿Cuántos de estos grupos hay? Elemental:
 
  

Haciendo cuentas para comprobar resulta P4=1, P5=5, P6=15, P7=35. Como ves, un contar con astucia, sin contar uno a uno, ahorra un montón de trabajo aburrido.