LAS PITAGÓRICAS MARAVILLAS DEL PENTAGONO REGULAR.             El pentágono regular es una de las figuras con más miga de toda la historia antigua de la matemática. Si trazas sus diagonales obtienes el pentagrama pitagórico, la figura que los seguidores de Pitágoras utilizaban en el siglo VI a. de C. para reconocimiento mutuo y como símbolo de salud.
   
        Al formar la estrella pitagórica, en el centro se forma otro pentágono regular. Si mides los ángulos que se forman en el pentágono señalados en la figura anterior observarás una cosa curiosa: si por abreviar llamas  al ángulo de 36º resulta que todos los ángulos que aparecen miden un múltiplo entero de , como está indicado.
 
        A los pitagóricos, que eran grandes devotos de las proporciones exactas, esto les tuvo que sumir en un profundo éxtasis y de ahí su veneración por el pentagrama. Y esta misma idea de tratar de encontrar proporciones exactas entre magnitudes geométricas les llevó por primera vez, como sospechan los historiadores de la matemática, mediante el pentágono regular precisamente, a uno de los descubrimientos matemáticos más importantes, el de la inconmensurabilidad de ciertos segmentos. Verás en qué consiste esto.
 
        Era natural para los pitagóricos esperar que en una figura tan perfectísima como el pentágono regular, el lado l y la diagonal d fuesen conmensurables, es decir, que admitiesen una unidad de medida común, o en otras palabras, que existiese un segmento u más pequeño que d y l con el que l y d se pudieran medir a la vez, es decir, que d resultase ser m veces u y l fuese n veces u, siendo m y n números enteros.
 
¿Ocurrirá que d = mu,  l = nu siendo m y n números enteros?
 
        Si m/n no fuese una fracción irreducible, por ejemplo, m=m´p, n=n´p, entonces es claro quqe podemos tomar como segmento unidad U=pu y con esta unidad resulta que d mide m´ veces U y l mide n´ veces U, es decir U sirve también para medir d y l. Si todavía m´ y n´ tuviesen un factor común, podríamos tomar una unidad más grande. Como ves, si existe una unidad u que sirve para medir a la vez d y l en enteros, también existe una unidad U* que sirve para medir d y l con m* y n* tales que m*/n* es una fracción irreducible. Supongamos que existe tal u y que hemos tomado U* por unidad. Así d mide m*U* y l mide n*U*, siendo m*/n* irreducible.
 
        Pero ahora fácilmente, apoyándote en lo que sabes sobre los ángulos de la figura del pentágono y sus diagonales, observarás que las medidas de los segmentos indicados en la figura siguiente son las señaladas, en particular que la diagonal d´ del pentágono regular interior resulta ser (m*-n*) U* y el lado l´ del mismo pentágono interior es (2n*-m*) U*. Como dos pentágonos regulares cualesquiera son semejantes, resulta que d/l= d´l´ y, por tanto, m*/n* = (m*-n*)/(2n*-m*), lo cual quiere decir que m*/n* no era irreducible, contra lo que habíamos supuesto.
   
Algo no casa. ¿Qué puede ser? Nuestro razonamiento es bueno. Entonces nuestro punto de partida tiene que ser malo. Habíamos partido de que existe u tal que d=mu, l=nu. Esto tiene que ser falso. En resumen, d y l no pueden ser conmensurables, es decir, no se puede encontrar una unidad u con la que se pueda medir a la vez d y l en números enteros.
 
        La relación en la que se encuentran la diagonal y el lado del pentágono regular se puede obtener de nuestras cuentas anteriores. Tenemos que se verifica d/l=m/n y aunque ya sabemos ahora que m y n no pueden ser enteros a la vez, sabemos que d/l=m/n=(m-n)/(2n-m). Así, llamando x=m/n resulta x=m/n=(x-1)/(2-x). Por lo tanto, x²-x-1=0, es decir x =  = 1,618..., un número que ya hemos conocido antes y que tiene que ver con la sección áurea de un segmento, como vas a ver ahora.
 
        Como puedes observar en la figura siguiente,
   
resulta que los triángulos ABC y BDC son semejantes y así AC/AD=AC/AB=BC/DC, es decir,  d/l=1/(d-l), lo que quiere decir que AD, que es igual al lado, es sección áurea de la diagonal, lo cual, añadía otro encanto más del pentágono regular para los ojos pitagóricos. En realidad, con un poco más de esfuerzo, puedes comprobar que en el pentagrama y pentágono regular, cualquier segmento es sección áurea del que es inmediatamente mayor.