No me ocuparé aquí de detallar específicamente el contenido de esta aritmética científica, pues esto será realizado en otra conferencia de esta serie, por el profesor Alberto Dou, dedicada a Euclides. Sólo quisiera señalar dos puntos particularmente notables de la aritmética de los Elementos, de los cuales uno con seguridad es de procedencia pitagórica y el otro con gran probabilidad también.
El primero se refiere a los llamados
"números lado y diagonal". El segundo es el llamado "algoritmo de
Euclides" para la obtención del máximo común divisor
de dos números. Los números lado y diagonal constituyen pares
de números formados recursivamente que servían a los pitagóricos
para aproximar mediante fracciones, cada vez con mayor exactitud, la relación
entre la diagonal y el cuadrado, es decir para aproximar la raíz
de 2. De esta forma se expresa Proclo en su comentario al libro sobre la
República de Platón:
"La unidad, como origen de todos
los números, es potencialmente tanto lado como diagonal. Se toman
ahora dos unidades: una como unidad-lado y otra como unidad-diagonal y
se forma un nuevo lado, añadiendo a la unidad-lado la unidad-diagonal,
y una nueva diagonal, añadiendo a la unidad-diagonal el doble de
la unidad-lado"
El proceso de formación
de los pares de números lado y diagonal prosigue de la misma forma.
El nuevo lado es suma de los números lado y diagonal anteriores,
la nueva diagonal es la suma de la diagonal anterior y dos veces el lado
anterior, es decir:
Y Proclo afirma que la demostración de los pitagóricos de esta propiedad se realizó mediante la proposición II, 10 de los Elementos de Euclides, que representa la identidad que nosotros escribiríamos así
(2X+Y)2+Y2=2X2+2(X+Y)2
En efecto, si suponemos que X=L, Y=D
son lado y diagonal de un cuadrado, se tiene D2=2L2
y así substituyendo arriba y simplificando
Y2=2X2,
resulta
(2L+D)2=2(L+D)2
es decir, 2L+D es diagonal del cuadrado de lado L+D.
Es posible que la idea original de
tal hilo de pensamiento y de demostración esté implicita
en el proceso de antanairesis con el que, según O.Becker y otros
(Cf. O.Becker, Grösse und Grenze der Mathematischen Denkweise, Karl
Alber Verlag, 1959; trad. esp. Rialp, 1969) se procedía originariamente
a la demostración de la irracionalidad de raíz de 2. El proceso
aparece muy claramente sugerido por la siguiente figura:
La aritmética popular de los pitagóricos tenía otro sabor totalmente distinto del de estos retazos de la aritmética científica que hemos examinado. Su finalidad era hacer inteligible a todos las fascinantes propiedades de los números. La principal fuente de nuestro conocimiento de esta aritmética es la Introducción a la Aritmética de Nicómaco de Gerasa (ca. 50-150 d. de C.), obra que se extendió extraordinariamente a juzgar por el gran número de manuscritos (44) que de ella se conservan. En este trabajo aparecen por extenso la teoría figurativa de los números, los números triangulares, cuadrados rectangulares, pentagonales, etc. y se habla de las fabulosas y místicas propiedades de ciertos números en concreto.