Existen varias versiones sobre el modo concreto como Pitágoras llegó a desentrañar las relaciones numéricas entre los sonidos consonantes, es decir aquellos cuya producción simultánea origina una sensación agradable en nuestro oído: el tono, la octava, la quinta y la cuarta. Nicómaco de Gerasa, Gaudencio y Boecio hablan de la observación de Pitágoras de los diferentes sonidos producidos en el yunque del herrero por martillos de diferentes pesos. Un martillo cuyo peso era como 6 producía el tono, otro con peso 12 producía la octava, otro con peso 9 la quinta y otro de peso 8 la cuarta. Pitágoras volvió a casa, colgó tales pesos de cuatro cuerdas iguales y observó que se producían los sonidos consonantes correspondientes. Este es el ejemplo típico de una de esas historias cuya falsedad podría haber comprobado un historiador con sentido crítico sin más que tratar de repetir la experiencia. La frecuencia del sonido producido por una cuerda vibrante no está en proporción con la tensión, sino con la raíz cuadrada de la tensión.
Diógenes Laercio propone a Pitágoras
mismo como inventor del monocorde, no un instrumento musical, sino más
bien un aparato científico para verificar la teoría musical
utilizado por los pitagóricos. Gaudencio explica pormenorizadamente
el experimento más verosímil con el que Pitágoras
comprobó y cuantificó su intuición genial de la conexión
de la armonía musical con los números. Pitágoras tensó
una cuerda musical que producía un sonido que tomó como fundamental,
el tono. Hizo señales en la cuerda, que la dividían en doce
partes iguales. Pisó la cuerda en el 6 y entonces
Los números 12,9,8,6 constituyeron así mismo en el pitagorismo posterior otra cuaterna muy interesante por sus propiedades aritméticas. Se verifica:
Iámblico afirma que la teoría
de la media aritmética y la media armónica procede de los
babilonios y fue importada por Pitágoras. No hay pruebas concluyentes
de tal afirmación, pero sí se puede asegurar que esta teoría
pertenece al pitagorismo primitivo.
La armonía fue una ocupación
constante de la escuela pitagórica en todas las etapas de su evolución.
Platón había manifestado su descontento con el carácter
empírico tanto de la armonía como de la astronomía
de los pitagóricos. Tal vez por su influjo se produjo una curiosa
fundamentación: axiomática de la armonía pitagórica,
relatada por el astrónomo Tolomeo (ca. 130 d.de C.) en su obra sobre
armonía Los axiomas pueden expresarse así:
1.- A los
sonidos musicales corresponden números. A los del mismo tono el
mismo número, a los de distinto tono números distintos.
2.- Los números
correspondientes a sonidos consonantes se comportan entre sí como
el numerador y el denominador de las fracciones más perfectas a/b,
que son aquéllas en que el numerador es múltiplo del denominador,
a = nb, o bien aquéllas en que a sobrepasa a b en una parte de b,
es decir a=b+b/n, y esta relación es tanto más perfecta cuanto
más simple, es decir cuanto más pequeño sea n.
3.- A la octava,
como más perfecta, debe corresponder la relación 2/1.
De esta forma resulta por pura deducción lógica que a la quinta le debe corresponder 3/2 y a la cuarta 4/3.
De entre los desarrollos ulteriores
de la armonía científica de los pitagóricos se puede
destacar la explicación, asombrosamente acertada, de la naturaleza
del sonido como una sucesión de percusiones en el aire, haciendo
depender el tono del número de percusiones que se producen por unidad
de tiempo, es decir, de la frecuencia. Con ello se explica de modo natural
y exacto la producción de sonidos fisiológica y psicológicamente
agradables, consonantes, en la cuerdas cuyas longitudes se comportan como
los números más sencillos. Las percusiones del aire producidas
simultáneamente por una cuerda y la cuerda con la misma tensión,
de longitud mitad, tono y octava, llegan al tímpano de una forma
representable en el eje del tiempo de la manera siguiente:
Su composición da lugar a una
estructura de percusiones como la que sigue: