Institut Steklov Moscow — Russia | CEREMADE Université Paris-Dauphine Paris — France |
La caustique d’un point sur une variété riemannienne est l’ensemble des points d’intersection des géodésiques infiniment voisins partant de ce point.
Jacobi a remarqué, en utilisant un raisonnement topologique, que la caustique d’un point sur une surface convexe fermée doit avoir des points de rebroussement. Il a aussi annoncé (sans démonstration) que le nombre de ces points est quatre pour les caustiques sur les surfaces d’ellipsoïdes (Jacobi, 1964).
Dans cette note j’essaie d’inclure les théorèmes sur les points de rebroussement des caustiques dans le cadre plus général de la topologie symplectique. On obtient ainsi immédiatement de nombreuses généralisations (y compris, par exemple, le théorème des quatre sommets d’une courbe convexe fermée dans le plan euclidien) aussi bien que des conjectures sur la topologie des caustiques et des fronts d’ondes.
Certains de des théorèmes et conjectures peuvent être considérés comme des généralisations (un peu étranges) de la théorie de Sturm. Cette approche de la théorie de Sturm suggère ses généralisations reliées, par exemple, à la symplectisation du théorème des quatre points ombilicaux sur une surface convexe.