Soit un élément de l’anneau des séries formelles à deux variables à coefficients complexes, irréductible, et définissant une série convergente dans un voisinage de l’origine de . L’équation définit une branche analytique complexe . On dit que deux branches analytiques et ont le même type topologique si et seulement si et sont topologiquement équivalentes en tant que surfaces plongées dans . Soit , l’anneau local de la branche et son corps des fractions. D’après le théorème de Puiseux, la clôture intégrale de dans , est l’anneau des séries formelles à une indéterminée. C’est un anneau de valuation discrète. La valuation s’étend de façon naturelle à , notée . On note le semi groupe . Zariski (Cours donné à l’école polytechnique, 1973) a montré que deux branches sont équisingulières si et seulement si elles ont même semi-groupe. On note la classe d’équisingularité associée au semi groupe .

Dans cet article, nous décrivons pour un semi-groupe quelconque de courbes planes (Théorème 6). Nous donnons une condition nécessaire et suffisante pour qu’un élément de soit une courbe plane (Proposition 7), ainsi que les équations des courbes planes de semi-groupe . Nous faisons aussi le calcul de la modalité en fonction des générateurs du semi-groupe.

Nous avons deux applications en vue, d’une part le calcul de la dimension de la composante générique de l’espace des modules, d’autre part, la démonstration de la conjecture de Yano que décrit le polynôme de Bernstein d’une courbe générique semigroupe (Cassou-Nouguès (preprint et manuscrit)).

1980 Mathematics Subject Classification (1985 revision): 14B05, 14B07, 32G13.