CÓNICAS. PRECEDENTES: MEMECMO, ARISTEO,
EUCLIDES, ARQUÍMEDES...
El trabajo más importante de
Apolonio se refiere a las secciones cónicas. La cuestión
previa interesante que en este apartado examinaremos es la siguiente: ¿qué
se sabía sobre cónicas antes de Apolonio?.
Debido precisamente a la perfección
de la obra de Apolonio, los tratados que sobre cónicas fueron escritos
antes que el de Apolonio no han sido conservados. Se conocen noticias aisladas
que se pueden encontrar en los escritores que describen el desarrollo de
la geometría.
Menecmo, hacia 350 a.de C., se ocupa
del problema clásico de la duplicación del cubo (construir
un cubo de doble volumen que otro dado), en cuya motivación y descripción
no entraremos aquí. Redujo el problema al de la construcción
de las dos medias proporcionales entre 2 y 1. En nuestro lenguaje, si encontramos
x e y tales que
entonces x2=2y,
y2=x, y así x3=2y3,
es decir, el cubo de lado x es de volumen doble que el de lado y.
En general, el problema de las dos
medias proporcionales entre a y b consiste en hallar x e y, tales que
Su resolución se reduce a hallar
la intersección de la curva x2=ay
con xy=ab y es así como aparecen lo que nosotros llamamos parábola
e hipérbola equilátera.
Menecmo introduce estas curvas como
secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una
generatriz. Por eso la parábola fue llamada, y con esta
terminología aparece todavía en Arquímedes, sección
de cono rectángulo (es decir sección de cono cuyo ángulo
de apertura es recto por un plano perpendicular a una generatriz). La elipse
era la sección de cono acutángulo y la hipérbola
(hasta Apolonio solo se consideró una rama de ella) la sección
de cono obtusángulo.
El desarrollo de la teoría de
cónicas debió de ser muy rápido pues ya hacia fines
del siglo IV existieron dos obras importantes. La primera es de Aristeo,
el Libro de los lugares sólidos (lugares planos eran
los que dan lugar a rectas y círculos; lugares sólidos
son aquéllos en los que aparecen las cónicas por intersección
de cilindros y conos con planos; lugares lineales eran otras curvas
de orden superior no reducibles a las anteriores como la cuadratrix o la
concoide). La segunda obra de interés, también perdida, fue
de euclides, en cuatro libros, cuyo contenido debió de ser en sus
líneas fundamentales el que se encuentra en los cuatro primeros
libros de las Cónicas de Apolonio, si bien menos general y menos
sistemático.
De este modo, al final del siglo IV,
ya eran bien conocidas propiedades tales como la de la ordenada
Y tambien la de las asíntotas de la hipérbola
He aquí el modo sencillo como Menecmo
pudo llegar a la propiedad que hoy expresamos y2=2px
para la sección del cono rectángulo (parábola)
Arquímedes se especializó
en propiedades de la parábola. Muchas de las que cita en sus obras
las propone como del dominio público en su tiempo. Así la
de la subnormal y el hecho de que si PV es un diámetro que biseca
la cuerda QQ´ y si la tangente en Q interseca el diámetro
en T entonces
PV=PT
