UNA CURVA POLIVALENTE
 
 
        En la cubierta de la rueda de tu bici señala con tiza un punto que se vea bien de lado. ¿Qué curva recorre ese punto cuando te mueves con la bici por la carretera? Puedes tratar de pintar esa curva en tu papel. No es difícil. Yo me he recortado un círculo de cartón de unos 3,5 cm. de diámetro. Como es difícil conseguir que ruede sin resbalar sobre mi regla, he sujetado al borde de mi regla un trozo de papel celo con el lado engomado hacia afuera. He colocado la regla sobre el papel y ahora sí que puedo hacer que la rueda ruede appoyada en la regla y tumbada sobre el papel. En el borde de la rueda de cartón he hecho una pequeña muesca para meter el lápiz. Con el lápiz metido he hecho rodar el círculo a lo largo del borde de la regla y mi lápiz me ha pintado esto
 
 
que da una buena idea de la curva. Esta curva es una de las más famosas en la historia de las matemáticas. Se llama la cicloide y tiene, como verás, un montón enorme de propiedades curiosas.
 
        Para empezar, mira el área que queda entre un arco de cicloide y la recta sobre la que ha rodado el círculo. ¿Qué área calculas así a ojo que puede tener la superficie? Dirás, muy bien dicho -¿Qué área... comparada con qué?- Parece que tendrá algo que ver con la del círculo ¿no? Aquí tienes las dos áreas
 
 
¿Cómo se te ocurre compararlas? Si tienes papel milimetrado será fácil. Pintas sobre el papel milimetrado las figuras, cuentas cuadraditos y comparas. Fácil... pero un poco rollo eso de contar milímetros cuadrados. Galileo se interesó por el problema. No tenía papel milimetrado, pero tenía una balanza. Recortó las figuras sobre madera, las pesó y... ¡encontró que el área bajo la cicloide era como tres veces el área del círculo! Pero le debió de parecer que su método era inexacto y que la relación entre estas áreas no podía ser 3, un número tan redondo, que no tiene casi nada que ver con el número P, sólo que está cerca de 3,141... Así que conjeturó que el área bajo la cicloide tenía que ser P veces la del círculo.
 
        ¡Se debió de llevar una gran sorpresa cuando un francés, Roverbal y un italiano discípulo suyo, Torricelli, llegaron a demostrar que el área bajo la cicloide es exactamente tres veces el área del círculo que da lugar a ella!.
 
        Más llamativo todavía resultó el cálculo de la longitud de un arco de cicloide. ¿Por qué no tratas de averiguarlo experimentalmente? Eso sí que es fácil. Recórtate una cicloide en cartón grueso, coge un hijo y ponlo bordeando ese cartón. ¡Y mide!. En mi cicloide, engendrada por mi rueda de 3,5 cm. de diámetro, me sale que la longitud del hilo es de 14 cm. Prueba tú con otro tamaño, por ejemplo de 4 cm de diámetro. ¿Qué te sale? Más o menos 16 cm ¿qué observas? 14/3,5 = 16/4 = 4. ¿Será verdad que la longitud de la cicloide es 4 veces la del diámetro? ¡Sí! Y esto es otro resultado de Roberval, Torricelli y otros  hace unos tres siglos.
 
        Tal montón de propiedades curiosas tiene la cicloide que aquellos señores del siglo XVII comenzaron a estudiarla con fruición... y a organizar unas terribles peleas sobre quién había encontrado primero tal o cual propiedad. La siguiente se debe a Huygens, un holandés nada errante que tenía su casa permanente en Groningen.
 
        Recorta en cartón dos medias cicloides como indica la figura
 
 
Coloca un hilo ajustado a la parte C y fija un estremo en A. Sujeta la parte de tu lápiz al otro extremo en C y ahora, con el extremo en A fijo y el hijo tenso, apoyado en el cartón, sepáralo de C dejándolo describir una curva. ¿Qué curva? Hazlo primero y adivina después. ¡Sí! Es una cicloide igual a las de arriba, sólo que entera, como indica el dibujo.
 
 
        Huygens fue el primer constructor serio de relojes de péndulo, a la vez que un matemático y físico genial del siglo XVII. Se hizo un péndulo así
 
 
que tenía la siguiente propiedad muy especial: aun cuando la amplitud del movimiento del péndulo varíe y se haga más grande o más pequeña, el péndulo sigue marcando el tiempo igualmente bien, es decir, tiene el mismo período.
 
        ¿A qué se debe esto? Huygens descubrió que la cicloide tiene la propiedad de ser nada menos que tautócrona. ¿Qué qué es eso? Pues eso consiste en lo siguiente: si colocas una cicloide hacia arriba, como en el dibujo siguiente y dejas caer dos canicas por ella, una desde el punto M y otra desde el N, ... ¡las dos llegan al punto P más bajo de la cicloide al mismo tiempo! Y eso que la que baja desde M tiene que recorrer un camino mayor.
 
 
Esta propiedad te explica que si te puedes construir un péndulo tal que la lenteja recorra, no un arco de círculo, como en los relojes de péndulo que vemos hoy día, sino un arco de cicloide, entonces no importa que la amplitud sea mayor o menor. Su período es el mismo. Huygens se las ingenió, con la propiedad que hemos visto antes, para que la lenteja recorriera, efectivamente, una cicloide. Observa en el dibujo del péndulo de Huygens que los dos topes de la cuerda son dos arcos de cicloide.
 
        Para experimentar esto de la tautocronía de la cicloide yo me he hecho un experimento bastante sencillo. ¿Por qué no me sigues y te lo haces tú mismo? Recorta un cartón de modo que el borde sea una cicloide bien grande, cuanto más grande mejor. Córtalo por la mitad, por la línea de puntos del dibujo.
 
 
        Recorta también dos trocitos por el borde de abajo de modo que quepa a través de cada uno de los agujeros una canica.
 
        Pega un trozo de cartulina por el borde de cada mitad de modo que quede algo así
 
 
Procura que el borde exterior de la cartulina quede un poco levantado para que una canica pueda bajar por ella sin salirse, siguiendo la línea de la cicloide.
 
        Ahora, con un papel de celo une los dos trozos de cicloide que has preparado en ángulo recto. Te debe quedar algo así
 
 
Ahora ya puedes empezar a experimentar. Vas a necesitar cuatro manos, de modo que ya puedes ir llamando a algún amigo. Tu amigo te sostiene el chisme que has preparado verticalmente. Tú dejas caer al tiempo dos canicas, una por cada mitad de la cicloide desde puntos de la cicloide situados a diferentes alturas. Si las cosas las has hecho bien, las dos canicas se chocarán en el punto más bajo, puesto que llegan allí al mismo tiempo. Si es que salen mal las cosas, una llegará antes que la otra y las dos se saldrán por los agujeros a toda velocidad.
 
        A la cicloide no le basta con ser tautócrona, porque además es braquistócrona, ya que es ser...¿no? Ser braquistócrona significa ser la curva de descenso más rápido, en el siguiente sentido. Señala dos puntos A y B en un plano vertical, a distinta altura.
 
 
Suponte que tienes un alambre y una cuenta de rosario. Se trata de unir A y B con el alambre, de ensartar la cuenta en A y de hacerla caer por el alambre hasta B. Para cada forma de curva que le des al alambre la cuenta tardará un tiempo distinto en caer de A a B. La pregunta es ahora: ¿qué forma habrá que darle al alambre para que la cuenta llegue a B en el menor tiempo posible? ¡Pues resulta que la forma es precisamente la de la cicloide que sale verticalmente de A y pasa por B, del siguiente modo
 

 
Curioso ¿no? El segmento rectilíneo AB da la distancia menor entre A y B pero una bola que cae por el plano indicado AB... ¡Tarda más por ahí que si va por APB, bajando primero hasta P y luego subiendo a B! ¡Quién lo diría!
 
        ¿Por qué no te haces el experimento, como antes, con cartón y cartulinas y canicas? ¡Es fácil! Si tu cicloide es bien grande podrás observar la diferencia.