ACERCA DE FUNCIONES

Como ya sabes, a medida que vas siendo más mayor, tus padres te dan más paga, te aumentan la hora de llegar a casa... en definitiva, podríamos decir que existe una relación entre ambos hechos. Éste es un ejemplo del tema que vamos a estudiar: las funciones.

Otro ejemplo, supongo que conoces lo que es el Abono de Transportes de la Comunidad de Madrid. Si vas al Metro y preguntas por su precio, el taquillero te dirá que depende de la edad que tengas y de la zona por la que te muevas.

¿SABIAS QUE……

·          el matemático alemán  Gottfried Leibniz fue el que introdujo en el s. XVII en las matemáticas los términos de función, parámetro, constante o variable? Se dice que pese a su inteligencia y su capacidad para las matemáticas, Leibniz tenía muy mala memoria; por eso apuntaba todas sus ideas, para no olvidarlas. Hoy en día, podemos saber cuál fue la evolución de sus pensamientos.

·         la policía de EEUU tiene una base de datos de huellas dactilares tal que cada huella viene representada por el gráfico de una función en forma de onda que refleja las partes más significativas de la misma? De este modo, cada vez que se introducen en el ordenador los datos de una huella, rápidamente se sabe de quién es.

·         los datos sobre la economía, la temperatura o los habitantes de un país se representan por medio de gráficos? De este modo se puede comprobar, de un simple vistazo su evolución durante un período de tiempo.

·          la trayectoria de algunos lanzamientos a canasta, las “vaselinas” que realizan algunos futbolistas, o los “globos” de los tenistas tienen forma de un tipo de curva? Esta curva se conoce por el nombre de parábola.

·         el avance del fuego en un incendio forestal depende de la orografía del terreno, las especies vegetales, la situación de los ríos, pantanos... entre otras cosas? Por esta razón, el Ministerio de Medio Ambiente ha desarrollado un programa informático que permite saber cómo va a evolucionar un incendio y tomar medidas para apagarlo cuanto antes.

·          la poesía y las canciones tienen una estructura y un ritmo sujetos a reglas numéricas?

CONCEPTO

En matemáticas, cuando hablamos de funciones hacemos referencia a la dependencia entre magnitudes; donde una de ellas se llama variable independiente, y la otra, variable dependiente, obteniéndose esta última a partir de la independiente.

Fig. 1

Trabajar con funciones es muy sencillo: dando un valor a la variable independiente obtenemos el valor (único) de la variable dependiente asociada; así, en la figura 1, al dar a la variable independiente el valor A obtenemos el valor a, para la B, el b y para la C, el c.

En términos más formales, una función es una aplicación del conjunto de los números reales en el conjunto de los números reales.

Ecuación de una función

Normalmente, las funciones se representan mediante diagramas de conjuntos (Fig. 1), tablas de valores, fórmulas o gráficas.

La ecuación de una función es una expresión del tipo y = f(x)  que nos indica las operaciones que deben efectuarse con el número x para obtener su imagen y.

Consideramos la función de ecuación y = 2x, tal que a cada punto x, le corresponde su doble, 2x. Una posible tabla de valores sería la siguiente:

No es necesario dar sólo valores enteros a la variable independiente, también se le puede dar fracciones, irracionales, en definitiva, cualquier número real.

 

 Representación gráfica

Como hemos dicho antes, las funciones pueden venir dadas por gráficas. Así, la gráfica de la función y = 2x sería:

Para dibujar esta recta nos podemos ayudar de la tabla de valores calculada en el apartado anterior.

A partir de la gráfica de una función se pueden observar distintas propiedades de la misma. Veamos algunas de ellas:

Dominio y Recorrido

Definimos dominio y recorrido como el conjunto de valores que pueden tomar la variable independiente (x) y la dependiente (y) respectivamente.

En una gráfica, el dominio y el recorrido se reconocen fácilmente: el dominio está formado por los valores del eje OX que tienen imagen, y el recorrido por los del eje OY que son imágenes de dichos elementos del dominio.

Veamos algunos ejemplos:

  Dominio:

  Dominio:

  Recorrido:

  Dominio:

  Recorrido:

Paridad

Se dice que una función es par si su gráfica es simétrica respecto del eje OY, y se dice que es impar si su gráfica es simétrica respecto del origen (0,0). Veamos unos ejemplos:

   Gráfica de una función par

 Gráfica de una función impar

Normalmente una función no es par ni impar.

Periodicidad

Hay funciones cuyos valores se repiten idénticamente una y otra vez.

Piensa en un reloj de aguja. ¿Cuánto tiempo ha de transcurrir para que el minutero vuelva a pasar por un mismo punto? La respuesta es 60 minutos.

Se dice que el recorrido de esta aguja es periódico porque cada vez que transcurren 60 minutos, el minutero vuelve a pasar por el mismo punto.

Una función es periódica si su gráfica se repite cada cierto tiempo. Este tiempo se llama periodo.  

Límites

Sea la función f(x) = x². Nos hacemos la siguiente pregunta: ¿Si damos a x valores próximos a 2, sus imágenes f(x) a que valor se aproximan?
Nos ayudamos con unas tablas de valores:

En la primera tabla, nos aproximamos a 2 por la izquierda y en la segunda nos aproximamos por la derecha. Observamos que f(x) se aproxima a 4 cuando x es cercano a 2. Se dice entonces que 4 es el límite de la función cuando la variable tiende a 2.
 

En general el límite de una función en x=a, es el valor al que se aproximan las imágenes de los puntos cercanos al punto a. 
 

Continuidad

Una función es continua si su gráfica se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.

Por ejemplo, la siguiente función es continua:

Sin embargo, esta otra no es continua:

   Discontinuidades: x=0, x=4

Monotonía

La monotonía se refiere al crecimiento y decrecimiento de la función.

Una función se dice creciente si al aumentar la variable independiente, aumenta también la dependiente.

Y se dice que una función es decreciente si al aumentar la variable independiente, disminuye la dependiente.

Normalmente, las funciones son en unos trozos crecientes y en otros, decrecientes. Por ejemplo, la siguiente función primero decrece, después crece y finalmente vuelve a decrecer.

Extremos

Se dice que un punto (x,f(x)) es máximo si la gráfica de f(x) crece por su izquierda y decrece por su derecha.

Se dice que un punto (x,f(x)) es mínimo si la gráfica de f(x) decrece por su izquierda y crece por su derecha.

 Como se observa en la gráfica anterior, una función puede tener varios máximos y mínimos.

Ejemplos

La recta: función lineal y afín

Una función lineal es una recta que pasa por el origen y tiene una ecuación del tipo  y = mx.

Si una recta no pasa por el origen se llama afín y su ecuación es del tipo     y = mx + n.

El valor de m corresponde a la pendiente (inclinación) de la recta; mientras que la n, al valor de la coordenada en el origen.

Cuando m=0 obtenemos el caso particular de las llamadas rectas constantes cuya ecuación es y=n.

La parábola: función cuadrática

La parábola es la representación gráfica de un polinomio de segundo grado, por tanto tiene una ecuación del tipo y = ax² + bx + c. Para dibujarla necesitarás conocer su vértice, los puntos de corte con los ejes coordenados.

Vértice: es el único extremo de la parábola y corresponde al punto

Puntos de corte con los ejes coordenados:

• Eje OX: se obtienen al hacer y=0 en la ecuación, por tanto, son los puntos (x,0) donde x se obtiene al resolver la ecuación ax² + bx + c =0

• Eje OY: es un único punto y se obtiene al hacer x=0 en la ecuación, por tanto, es de la forma (0,c)

Recuerda el siguiente truco: si a>0 la parábola está "contenta" y si  a< 0, está "triste".

   Parábola "contenta"

   Parábola "triste"

Siempre hay un punto de corte con el eje OY, pero no tiene por qué haber corte con el eje OX. ¿Sabrías explicar por qué?

La hipérbola: función de proporcionalidad inversa

Las funciones de proporcionalidad inversa son de la forma  

Su representación gráfica es la de una hipérbola.

Como el denominador de una fracción no debe anularse nunca, el dominio de este tipo de funciones es

Como puedes observar, las dos ramas de la hipérbola se aproximan mucho a los ejes coordenados sin llegar a tocarlos, por esta razón los ejes coordenados son las asíntotas de la hipérbola.      

La función exponencial y logarítmica

• Se llama función exponencial de base a a aquélla cuya ecuación general es y=a^x siendo a>0 y a≠1.

Su gráfica siempre pasa por los puntos (0,1) y (1,a).

Si a>1, la función es creciente y si a<1, la función es decreciente.

En el caso a>1, cuanto mayor sea el valor de a, la función crecerá más rápido y en el caso a<1, cuanto menor sea el valor de a, la función crecerá más lento.

 

 

•  Se llama función logarítmica de base a o logaritmo en base a a aquella cuya ecuación general es y=log_ax, siendo a>0 y a≠1.

  Su gráfica siempre pasa por los puntos (1,0) y (a,1).

  Su dominio es (0,∞).

  Si a>1, la función es creciente y si a<1, la función es decreciente, al igual que ocurre con la exponencial.

  

   

         

¿Qué relación observas entre las gráficas de la exponencial y el logaritmo de misma base?

Son simétricas respecto de la recta y=x, y decimos entonces que son inversas una de la otra.

El valor absoluto

Considera la gráfica de cualquier función f(x); toma la parte que esté por debajo del eje OX y haz su simétrico respecto de este eje. La gráfica que obtienes es la de la función que se conoce como valor absoluto de f(x), y se denota por y=|f(x)|. Veamos un ejemplo:

La función original f(x) es la de color rojo, y la función |f(x)| es lo que queda por encima del eje OX. Observa que el simétrico sólo se hace sobre la parte negativa de f(x).

El caso más sencillo de valor absoluto es y=|x|

Funciones definidas a trozos

Las funciones vistas hasta ahora vienen definidas por una única expresión y=f(x) en todo su dominio. Pero una función también puede venir dada por varias expresiones cada una de ellas definida en una región de un dominio previamente dividido. Estas funciones se conocen por el nombre de funciones definidas a trozos.

Por ejemplo, dividimos la recta real en tres regiones: (-∞ ,-1]U(-1,3)U[3,∞)

y definimos en cada una de las regiones una expresión diferente:

problemas: interpretación de gráficas

1. Tenemos distintas bolsas de caramelos que acabamos de comprar en la tienda de gominolas. Cada punto de la gráfica siguiente corresponde a una de las bolsas. Responde razonadamente a cada pregunta.

a) ¿Qué bolsa es la más pesada?

b) ¿Qué bolsa es la más barata?

c) ¿Qué bolsas tienen el mismo peso?

d) ¿Qué bolsas tienen el mismo precio?

e) ¿Qué bolsa sale mejor de precio: F ó C?

    Solución

2. La familia Pérez está formada por el abuelo, el padre, la madre, y sus tres hijos: dos niños mellizos de 9 años y una niña de 5 años.  La siguiente gráfica representa la relación edad-estatura de cada uno de ellos. Identifica cada punto con el miembro de la familia correspondiente.

    Solución

3. Pedro y María son dos amigos que quedan un día para salir. Pedro sale de su casa y recoge a María, y ésta tarda un poco en bajar. Después de dar un paseo se sientan en una cafetería a tomar un refresco. Al regresar hacia sus casas, se acercan a casa de unos compañeros de clase para recoger unos apuntes y allí se pasan un tiempo. Después regresan a casa. La gráfica del paseo viene aquí representada.

    RESPONDE:

    a) ¿Cuál es la variable dependiente y cuál la independiente?

    b) ¿Cuánto dista la casa de María de la de Pedro?

    c) ¿Cuánto tiempo esperó Pedro a que bajara María?

    d) ¿Cuánto tiempo tardaron en llegar a la cafetería?

    e) ¿A qué hora salieron de la cafetería?

    f) ¿A qué casa regresaron?

    g) ¿Cuánto tiempo pasearon los dos juntos?

    h) ¿Cuándo pasearon más deprisa: de la cafetería a casa de sus amigos o de ésta al final del paseo? ¿Por qué?

    Solución

4. Inventa una historia para la siguiente gráfica:

    Solución

5. Queremos vallar con alambre un jardín de forma cuadrada.

    a) ¿Cuánto alambre es necesario si el lado del jardín mide 11 m? ¿Y si mide 6,5 m?

    b) Si hemos utilizado 108 m de alambre, ¿qué dimensiones tiene el lado del jardín?

    c) Explica cómo se hallan los metros de alambre necesarios si se conoce la longitud del lado del jardín.

    d) Escribe una fórmula que nos dé los metros de alambre (que llamamos y) necesarios para vallar un jardín de x metros de lado. Dibuja la función resultante.

    Solución

6. Un grupo de amigos quiere comprar un balón de fútbol que cuesta 35€.

    a) ¿Cuánto pagarán si son 10 chicos?

    b) Si cada chico ha pagado 1,4 €, ¿cuántos chicos son?

    c) Escribe una fórmula que nos dé la cantidad en € (que llamamos y) que debe poner cada chico para poder comprar el balón si en total son x amigos. Dibuja la función resultante.

    Solución

7. El coste de una ventana cuadrada depende de su tamaño. El precio del cristal es de 0,50 € por dm², y el marco, 1 € por dm.

    a) ¿Cuánto costará una ventana de 7 dm de lado? ¿Y una de 1,5 m de lado?

    b) ¿Cuál será la longitud del lado de una ventana que ha costado 90 €?

    c) Llamando x a la longitud del lado de la ventana e y al coste de la misma, escribe una fórmula que dé el coste conocida la longitud del lado. Dibuja la función resultante.

    Solución

8. El número aproximado de bacterias de una colonia en crecimiento, calculado cada hora a partir de la primera observación viene dada por la siguiente tabla:

     a) ¿Cuántas bacterias tendrá la colonia después de 6 horas? ¿Y después de 9 horas?

     b) Halla la función que nos da el número de bacterias al cabo de t horas. Dibújala 

    Solución

9. Una recta pasa por el punto (4,5) de un sistema cartesiano y su pendiente es  ½. 

    ¿En qué punto corta esa recta al eje de abscisas?

    Solución

10. Dada una parábola cuya ecuación es y = x² - x – 6 se traza otra simétrica a la anterior respecto del eje de abscisas.

    ¿En qué puntos cortará esta parábola a una recta de ecuación y = x + 2?

    Solución