Máster en Matemáticas Avanzadas

Geometría de Superficies Topológicas 2017-2018

Profesor: Vicente Muñoz Velázquez
Despacho: 440
Cuatrimestre: Primero
Período de clases: 18 septiembre 2017 al 19 enero 2018
Horario: Martes 9:00-11:00, Jueves 9:00-11:00, Viernes 9:00-10:00
Aula: B08A
Tutorías: Miércoles 13:00-15:00, Jueves 14:00-15:00, Viernes 10:00-13:00

Programa de la Asignatura:

1. Superficies:
   • Variedades topológicas y diferenciables. Variedades con borde.
   • Topología cocientes. Variedades PL.
   • Representación planar de superficies.
   • Orientabilidad.
   • Clasificación de superficies compactas.
2. Topología algebraica:
• Grupos de homotopía.
• Recubridores. Recubridor orientado. Recubrimientos ramificados.
• Grupos de homología.
• Cohomología de De Rham.
• Dualidad de Poincaré.
3. Geometría riemanniana:
• Métricas riemannianas.  Curvatura. Geodésicas.
• Teorema de Gauss-Bonnet.
• Variedades homogéneas, simétricas e isotrópicas.
• Orbifolds.
4. Métricas de curvatura constante:
• Geometría elíptica. La esfera de Riemann.
• Geometría euclídea. Toros planos.
• Geometría hiperbólica. El postulado de las paralelas.
• Métricas hiperbólicas en superficies.
5. Geometría compleja:
• Variedades complejas. Estructuras casi-complejas.
• Estructuras hermíticas y Kähler. Variedades proyectivas.
• Curvas complejas
• Estructuras conformes.
• Clasificación de curvas complejas.
• Curvas elípticas.
6. Análisis global:
• Teoría de Hodge.
• Existencia de métricas de curvatura constante en superficies.
• Existencia de coordenadas conformes.

Bibliografía:

• V. Muñoz y J. Madrigal, Topología Algebraica, Sanz y Torres, 2015.
• W.S. Massey, A basic course in algebraic topology. Graduate Texts in Mathematics, 127. Springer-Verlag, New York, 1991.
• M.P. Do Carmo, Geometría Riemanniana, 2ª edición, Birkhäuser, 1988.
• B. O'Neill, Semi-Riemannian geometry with applications to relativity, Academic Press, 1983.
• F. Kirwan, Complex Algebraic Curves, London Mathematical Society, Student Texts 23, Cambridge, 1992.
• R. Bott, L.W. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Math, 82. Springer-Verlag, 1982.
• V. Muñoz, Cien años de la Conjetura de Poincaré, La Gaceta de la RSME, Vol. 7 (2004) 629-653.

Calificación:

La calificación global tendrá en cuenta los siguientes aspectos:

• Los ejercicios resueltos por los alumnos y entregados al profesor a lo largo del curso.
• Trabajo de fin de curso desarrollado por cada alumno sobre un tema relacionado con la asignatura.
• Participación en clase, y exposición del trabajo de fin de curso.