Curvas de persecución como espirales equiangulares
Las curvas de persecución son un caso particular de la espiral equiangular, así que veamos lo que es ésta:
LA ESPIRAL EQUIANGULAR
En primer lugar es importante que recordemos el concepto de espiral:
En matemáticas, una espiral es una curva que se inicia en un punto central y se va alejando progresivamente del centro a la vez que gira alrededor de él. Normalmente se define como una función que depende de dos parámetros: el ángulo del punto respecto a un eje de referencia y la distancia desde este punto al punto central en relación con el ángulo
La espiral equiangular (también conocida como espiral logarítmica, espiral de Bernouilli, y logística) describe una familia de espirales.
Está definida como una curva que corta todos los radios vectores con un ángulo constante. Las propiedades principales que cumplen son las siguientes:
La espiral equiangular es el corte transversal del Nautilus y otras conchas. También se puede encontrar en la configuración de semillas del girasol, las piñas, etc.
Las ecuaciones paramétricas de la espiral equiangular son:
x= - e^ (t / tan (alpha)) cos(t)
y= e^ (t / tan (alpha)) sin(t)
Problema.
Supongamos que hay n insectos, cada uno en una esquina de un polígono
regular que tiene n caras. Cada insecto se arrastra hacia su vecino con la misma
velocidad uniforme que el resto. El rastro que dejan estos insectos son
espirales equiangulares (de las que hablaremos a continuación) de ángulo
radianes
(que es la mitad del ángulo de la esquina del polígono). Si suponemos que el
rastro que va dejando el movimiento del insecto es una espiral equiangular, es
normal que sea de ángulo 
radianes,
ya que una tangente a la espiral es el propio lado del polígono.
Modelo para 3 objetos
Construye el modelo para 3 insectos situados en los vértices de un triángulo equilátero. Dibuja las trayectorias de los insectos y las líneas de dirección que siguen.
Indicaciones
- Las espirales equiangulares van de cada vértice al centro del triángulo (se van cerrando a medida que se acercan al centro).
- Las tres espirales coinciden en el centro del triángulo.
-Utiliza un deslizador para hacer variar t.
Modelos para más de 3 objetos
Una vez realizada la modelización para 3 insectos intenta construir los modelos para 4,5 y 6 insectos respectivamente. Obtendrás construcciones realmente bellas.
Desde aquí puedes acceder la construcción de los distintos objetos: