PROGRAMA:

1.      Variedades diferenciables. Nociones básicas. Variedades euclideas: Ecuaciones locales paramétricas e implícitas. Variedades diferenciables: Cartas. Compatibilidad de cartas.  Atlas. Estructura diferenciable. Topología de una variedad diferenciable. Aplicaciones diferenciables: El anillo de funciones. Funciones meseta. Paracompacidad. Particiones diferenciables.

2.      El espacio tangente y la diferencial de una función. Espacio tangente: Vectores tangentes como derivadas direccionales y como vectores velocidad. Expresión en coordenadas locales.  Diferencial de una función: Regla de la cadena. Teorema de la función inversa.

3.      Campos Vectoriales. Nociones básicas: Definición como secciones del fibrado tangente. Definición como derivaciones. La derivada de Lie: La estructura de álgebra de Lie de los campos de vectores. Cálculos en coordenadas. Campos relacionados por una aplicación diferenciable. Sistemas dinámicos: Flujos locales.

4.      Formas diferenciales. Cálculo exterior. Álgebra exterior: Formas diferenciales. Producto exterior. Calculo de Cartan: Producto interior y derivada de Lie. La diferencial exterior. Identidades notables.  Nociones sobre la Cohomología de De Rham: Formas cerradas y exactas. Los Grupos cohomología de Rham. Números de Betti e invariancia por difeomorfismos. Teoría de integración en variedades: Formas de volumen y orientación. Teoría de integración. Teorema de Stokes. Aplicaciones

Bibliografía básica recomendada:

JAVIER LAFUENTE. Cálculo en Variedades. Publicación interna del Departamento de Geometría y Topología. (2010)

     Bibliografía complementaria:

J.M. GAMBOA Y J.M. RUIZ. Introducción al estudio de las variedades diferenciables. Ed. Sanz y Torres (1999).

ENLACES DE INTERÉS: