Introducción.
En 1856 Jakob Steiner publicó un artículo sorprendente (Steiner, 1856) relativo a las rectas de Wallace-Simson de un triángulo arbitrario ABC.

(La recta de Wallace-Simson relativa a un punto P cualquiera de la circunferencia circunscrita al triángulo es, recordamos, la que une las tres proyecciones ortogonales de P sobre cada uno de los lados del triángulo).

Steiner demostró en este artículo que la envolvente de tales rectas cuando P recorre la circunferencia circunscrita es
    una curva especial de tercera clase y cuarto grado,
    que tiene la recta del infinito como doble tangente ideal,
    que es tangente a los tres lados y a las tres alturas del triángulo,
    que tiene tres puntos de retroceso
    y que las tres tangentes en ellos se cortan en un punto.

En el curso de la demostración aparecen más propiedades interesantes de la curva, llamada hoy deltoide de Steiner, y que más adelante se identificó como una hipocicloide tricúspide, es decir una curva descrita por un punto de una circunferencia de radio r que rueda sin resbalar permaneciendo tangente a una circunferencia de radio 3r.

La demostración de Steiner, razonando directamente sobre el triángulo inicial ABC, es más bien complicada, y la del hecho de que se trata de una hipocicloide tricúspide, al menos la que se puede ver expuesta por Heinrich Dörrie (Dörrie, 1958), es una de esas demostraciones analíticas que nadie que no supiera el resultado pensaría construir y que no resulta muy esclarecedora. Las referencias relacionadas con la deltoide de Steiner son muy numerosas.

En esta nota se trata de presentar, a través de tres lemas más bien sencillos y breves, que requieren tan sólo el uso de hechos muy básicos de la geometría elemental, una demostración directa de la identificación de la envolvente de las rectas de Wallace-Simson como una hipocicloide tricúspide, determinando directamente los círculos que dan lugar a ella y obteniendo de esta forma sencilla muchas de las relaciones sorprendentes de la deltoide de Steiner con el triángulo inicial, con su círculo de Feuerbach y con su triángulo de Morley.

La observación básica que aclara todo ello es la que se encuentra en el primero de los tres lemas que siguen.

Lema 1.
Sea ABC un triángulo arbitrario y K su circunferencia circunscrita. Construimos el triángulo A'B'C' inscrito asimismo en K según indica la figura 1, es decir de modo que A coincida con A' y B'C' sea paralelo a BC .

Figura 1

Sea d la distancia entre los dos lados BC y B'C'. Llamemos v al vector perpendicular a BC, de longitud d, tal que la traslación paralela determinada por v transforma la recta que contiene BC en la que contiene B'C'.

Se verifica:

(1) Si P es un punto arbitrario de la circunferencia K  entonces su recta de Wallace- Simson respecto de A'B'C' se obtiene trasladando por v la recta de Wallace-Simson de P respecto de ABC.
(Por tanto la envolvente de las rectas de Simson de A'B'C' se obtiene mediante la traslación determinada por v a partir de la envolvente de las rectas de Wallace-Simson de ABC).

Demostración de Lema 1(1)

(2) El círculo de Feuerbach (círculo de los nueve puntos) del triángulo A'B'C' se obtiene asimismo mediante la traslación por v del círculo de Feuerbach de ABC.

Demostración de Lema 1(2)

(3) Los triángulos de Morley de ABC y de A'B'C' tienen la misma orientación.

Demostración de Lema 1(3)

Observación:
Cuando B'C' da lugar a un triángulo degenerado, por pasar por A o bien por coincidir B' con C', o bien cuando B'C' queda del otro lado de A, todo lo anterior es válido, definiendo por continuidad los diversos elementos del teorema en los casos de degeneración y considerando siempre A'B'C' con la misma orientación que ABC.
 

    Designemos por t(A,v) la transformación que nos hace pasar del triángulo ABC al triángulo A'B'C' en la forma indicada, es decir, manteniendo fijos el círculo circunscrito K, el vértice A=A' , y sustituyendo el lado BC por el lado B'C' determinado por v en la forma indicada en el lema anterior.
 

Lema 2.
Sea ABC un triángulo cualquiera.
Entonces existe una transformación t(A,v) que transforma ABC en A'B'C' y otra t(B',v') que transforma B'A'C' en un triángulo equilátero B''A''C''. Este triángulo equilátero tiene sus lados paralelos a los del triángulo de Morley de ABC y está orientado inversamente a él.

Demostración de Lema 2
 

Lema 3.
Para un triángulo equilátero ABC la envolvente de las rectas de Wallace-Simson es una hipocicloide tricúspide (deltoide) cuyos vértices son los vértices de un triángulo equilátero de lados paralelos a ABC y de tamaño 3/2 veces el de ABC.

Demostración de Lema 3
 

TEOREMA.
Sea ABC un triángulo arbitrario, F su círculo de Feuerbach, K su círculo circunscrito y M su triángulo de Morley.
Entonces la envolvente de las rectas de Wallace-Simson de ABC es una hipocicloide tricúspide D concéntrica con F, tangente a F, cuyos vértices forman un triángulo equilátero T. Este triángulo T es tal que sus lados son paralelos a los de M y su orientación es opuesta a la de M. El círculo circunscrito a T tiene un radio de longitud 3 veces la del radio de F, es decir 3/2 veces la del radio de K. (De estos hechos resulta bien claro cuál es el punto y la circunferencia  que al rodar engendra D).

El enunciado del teorema simplemente recapitula los lemas anteriores y por tanto no requiere más demostración.

De la demostración anterior resulta fácilmente otro hecho interesante:

Consideramos un punto P que se mueve sobre una recta fija p con movimiento armónico de fase s. Por el punto P hacemos pasar una recta formando un ángulo s/2 con la recta fija p. Entonces la envolvente de todas estas rectas es una deltoide.

Dejamos como ejercicio la sencilla demostración de este hecho y la determinación precisa de los principales elementos de la deltoide.
 

Bibliografía.

Steiner, Jacob, Über eine besondere Curve dritter Classe (und vierten Grades), Burchardt's Journal Band LIII, 231-237 (Gelesen in der Akademie der Wissenschaften zu Berlin am 7. Januar 1856).

El artículo de Steiner aparece reimpreso en:
Steiner, Jacob, Gesammelte Werke, Band II (Herausgegeben von K. Weierstrass) (Berlin, G. Reimer, 1882), 639-647.
 

Dörrie, Heinrich, 100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution (Dover, New York, 1965).
 
 

Existen abundantes artículos relacionados con la deltoide de Steiner. He aquí algunos de interés por orden de fecha de publicación:

Mackay, J. S., Bibliography of the envelope of the Wallace line, Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society, 23 (1904-1905), 80-88.

Van Horn, C. E., The Simson quartic of a triangle, The American Mathematical Monthly 45 (1938), 434-438.

Butchart, J. H., The deltoid regarded as the envelope of Simson lines, The American Mathematical Monthly 46 (1939), 85-86.

Patterson, B. C., The triangle: its deltoids and foliates, The American Mathematical Monthly 47 (1940), 11-18.

Macbeath, A. M., The Deltoid, Eureka 10 (1948), 20-25.

Macbeath, A. M., The Deltoid (II), Eureka 11 (1949), 26-29.

Macbeath, A. M., The Deltoid (III), Eureka 12 (1950), 5-6.
 

También se puede encontrar información interesante en la red sobre la deltoide e hipocicloide tricúspide. En particular:

Xah: Special Plane Curves: Curve Family Index  http://www.mirrors.org.sg/curves/SpecialPlaneCurves_dir/Intro_dir/familyIndex.html
 

Deltoid
http://www.astro.virginia.edu/~eww6n/math/Deltoid.html
 

MacTutor History of Mathematics Archive
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/Curves/Hypocycloid.html