Geometría del triángulo con herramientas actuales
dado un cuadri-látero a,b,c,d (cuatro rectas)
recta de Steiner asociada (ortocentros de los cuatro triángulos que se forman con cada tres rectas)
recta de Gauss
(sea por ejemplo ab la intersección de a con b)
se consideran:
el punto medio del segmento ab cd
el punto medio del segmento bc da
el punto medio del segmento ac bd
entonces estos tres puntos están alineados
la recta de Steiner y la de Gauss son perpendiculares
el punto de Clifford (intersección de los cuatro círculos circunscritos a los triángulos obtenidos al quitar una de las rectas)
las cuatro proyecciones del punto de Clifford sobre los lados del cuadrilátero están alineadas
los cuatro círculos de Feuerbach concurren en un
punto
....
Problemas de construcciones de triángulos:
Dados tres elementos de un triángulo, uno de ellos
al menos una longitud, construir el triángulo, a poder ser con regla
y compás, o bien determinar sus elementos mediante una ecuación
en función de los elementos dados y demostrar que no se pueden construir
sus soluciones con regla y compás.
Incluso aquí hay problemas aún sin resolver.
Problemas de colineación y concurrencia, como los de los ejemplos de arriba.
Otros más sencillos y más tradicionales:
Menelao, Pappus, Desargues, Fermat, Pascal, Ceva, Euler,
Brianchon, Wallace, Lemoine...
Y aquí también se pueden encontrar relaciones nuevas muy interesantes.
Problemas de construcciones peculiares en los que aparecen elementos sorprendentes y que a veces están en conexión con desarrollos de gran alcance:
Napoleón, Poncelet (geometría algebraica), Steiner (deltoide), Feuerbach, Morley,...
Para los problemas sobre lugares geométricos son particularmente apropiados los programas de cálculo simbólico. Con ellos podemos estudiar muchos lugares que serían difícilmente explorables sin ellos.
Ejemplo: ¿Cuál es el lugar de los centros
de las cónicas que pasan por cuatro puntos dados y por un quinto
punto que se mueve sobre una circunferencia?
La forma de proceder posible para encontrar teoremas de
este tipo.
Experimentación, conjetura, experimentación,
conjetura,... hasta que se llega a una fomulación del teorema y
se demuestra.
Experimentación. Antes dibujar.
Demostración. Antes sintética o algebraica.
A veces con muchísimo trabajo.
Poncelet con el teorema de los polígonos inscrito
y circunscrito... Preso en Saratov.
Euler, con la recta de Euler...
Feuerbach, con su teorema,...
¿Cómo se puede hacer ahora?
Experimentación. Ahora, dibujar con el ordenador, manipular,... mucho más fácilmente y más interactivamente y en situaciones mucho más complicadas.
Demostración. Ahora, sintética (si se puede) y algebraica. Mediante el uso de los programas de cálculo simbólico se puede demostrar.
¿Cómo?
Posibilidades: Derive, Cabri, Sketchpad, Mathematica,
Maple,...
¿Cuáles son las nuevas posibilidades?
Con Cabri y Sketchpad está bastante clara la posibilidad
de experimentación.
Con los programas de cálculo simbólico
se pueden construir herramientas que nos proporcionen
la posibilidad de dibujar
la posibilidad de tener las cuentas correspondientes
y así la posibilidad de demostrar
¿Cómo se fabrica uno las herramientas
adecuadas para experimentar con el ordenador?
Planificar cuáles son los elementos más
básicos que vendría bien tener preparados para experimentar
en un cierto campo.
Por ejemplo, en el tema de colineaciones y concurrencias:
recta por dos puntos
intersección de dos rectas
punto medio de un segmento
paralela a una recta por un punto
perpendicular por un punto a una recta
proyección de un punto sobre una recta
área de un triangulo dado por los tres vértices
bisectrices de un ángulo
.....
se determinan estos elementos en general, se hacen las
cuentas con el ordenador y se almacenan los resultados para tenerlos preparados
como macroinstrucciones para el momento en que venga bien utilizarlos
lados del triángulo dado por vértices
vertices del triángulo dado por lados
medianas
alturas
bisectrices
baricentro
incentro
ortocentro
círculo circunscrito
círculo inscrito y círculos exinscritos
círculo de los 9 puntos
......
cónica que pasa por cinco puntos
centro, asíntotas, ejes de una cónica
tangentes a una cónica desde un punto
polar de un punto
polo de una recta
.....
Se parte de un triángulo ABC y de un punto P (o
bien de una recta P). A partir
de estos elementos se realizan operaciones simétricas
respecto de los elementos
del triángulo (lados, vértices,...).
Se obtienen así tres elementos, puntos, rectas,
tsubA(P), tsubB(P), tsubC(P).
A veces estos elementos están alineados (si son
puntos) o son concurrentes (si
son rectas).
Si lo son, se obtiene una relación interesante.
Y si no lo son, se estudia el lugar de los P, o la envolvente
de los P tales que
están alineados o son concurrente.
Así es la forma general en que surgen muchas relaciones
y muchos lugares
curiosos en la geometría del triángulo.
Por ejemplo:
1. Un punto P, se trazan las proyecciones sobre los lados.
En general no están
alineadas. Pero los puntos para los que están
alineados es forman un lugar
geométrico interesante: el círculo circunscrito.
Teorema de Wallace.
2. Un punto P. Se une al vértice A. Recta simétrica
respecto de la bisectriz
interior en A. Las tres rectas así obtenidas se
cortan en un punto.
Transformación isogonal.
3. Un punto P. Se une con A. La recta PA corta el lado
a en M. Sobre a se
toma M' tal que MB=M'C. Se obtiene la recta AM'. Las
tres rectas así
obtenidas son concurrentes.
4. Un punto P. AP corta a a en M. Por M la perpendicular
a a. Las tres rectas
así obtenidas no concurren en general. Lugar de
los P tales que concurren. Una
cúbica interesante. Pasa por A,B,C,H,G,K,Ssuba,Ssubb,Ssubc.
5. Un punto P. La proyección de P sobre a es M.
Se obtiene AM. Las tres
rectas así obtenidas no concurren en general.
El lugar de los P tales que
concurren es una cúbica interesante. FGM p.555.
Cúbica de van Aubel. Pasa
por A,B,C,I,H,O,Isuba,Isubb,Isubc.
6. Un punto P. Se une P con A. La perpendicular por A
a AP. Las tres rectas
así obtenidas no oncurren en general. Lugar de
los P tales que concurren.
7. Un punto P. Se une P con A. PA corta a a en M. Perpendicular
por M a PA.
Las tres rectas así obtenidas no concurren....
8. P se une con A. La perpendicular por A a PA corta el
lado a en X. Lugar de
P para que XYZ estén alineados.
9. Creo que algunas de las colineaciones de Juan Bosco
Romero resultan en
buena parte de este modo. Se une P con A. PA corta
a a en M. Por M la
paralela a b que corta a c en U y por M la paralela a
c que corta a b en V. UV
corta a a en X. Entonces XYZ alineados.
10. AP corta en M a a. U es la proyección de M
sobre b, V es la proyección de
M sobre c. UV corta a a en X. Lugar deP para que XYZ
estén alineados.
11. Por P la paralela a a. Corta a b en U y a c en V.
CV corta BU en X. Lugar
de P para que XYZ estén alineados.
Algunas ideas generales sobre geometría con herramientas actuales.
Los personajes (Simson, Wallace, Poncelet)
Generalización del teorema de Wallace (-Simson)
Una resolución observada (una visión heurística del tema anterior)
Unos cuantos programas con DERIVE relativos al teorema
de Wallace-Simson: demostración
generalización
con proyecciones arbitrarias
la
proposición tridimensional correspondiente no es válida
una
situación análoga a la de la recta de Wallace
Exploración de la deltoide de Steiner
El teorema de Feuerbach. Una exploración visual con AUTOCAD
El lugar de los centros de las cónicas que pasan
por cuatro puntos y...
Cúbicas relacionadas con el triángulo.
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Lectura interesante en la red para el curso:
I.M. Yaglom, Elementary
Geometry, Then and Now, en Chandler David, Branko Grünbaum and F.A.
Sherk (editors), The Geometric Vein, The Coxeter Festschrift (Springer,
New York, 1981)
Ver la primera parte de las referencias de Yaglom
Yo recomendaría:
De las obras antiguas:
F.G.-M., Exercises de Géométrie (Maison
A. Mame et Fils, Tours, 1912,5ème)
Hadamard
Rouché-Comberousse
De las obras algo más cercanas:
Coxeter
Coxeter and Greitzer
Dan Pedoe, Geometry. A comprehensive course (Cambridge
University Press, 1970).
Dan Pedoe, Circles: a mathematical view (Mathematical
Association of America, 1995)
Entre los libros más recientes, son
lectura muy interesante los de
Honsberger (Mathematical Gems,...)
Ogilvie (Excursions in Geometry,...)
Mucha información también sobre los temas
de la geometría elemental se puede encontrar en la enciclopedia
de matemáticas en la red por Eric
Weisstein, en la dirección:
http://mathworld.wolfram.com/
por ejemplo sobre:
Plane Geometry
Geometric
Constructions
Line Geometry
Inversive
Geometry
Transformations
Coordinate
Geometry
Projective
Geometry
La enciclopedia contiene muchas referencias a libros, revistas, lugares en la red,...
construcción práctica de herramientas para la exploración en algunos temas
experimentos alrededor de concurrencias y colineaciones
experimentos con lugares geométricos
experimentos en torno a la demostración de los teoremas conjeturados
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