- Protocolo de problemas.

- Hojas de problemas.  Soluciones.

- Problemas abiertos.   Soluciones.

- Notas de Curso.

- Modelo de examen.

- Manual del curso

ENLACES DE INTERÉS:

Cien años de la Conjetura de Poincaré (de Vicente Muñoz)

...Conjeturas de Poincaré y Thurston (E. Cabezas y V. Miquel)

PROGRAMA:

1.      Variedades diferenciables. Nociones básicas. Variedades euclideas: Ecuaciones locales paramétricas e implícitas. Variedades diferenciables: Cartas. Compatibilidad de cartas.  Atlas. Estructura diferenciable. Topología de una variedad diferenciable. Aplicaciones diferenciables: El anillo de funciones. Funciones meseta. Paracompacidad. Particiones diferenciables.

2.      El espacio tangente y la diferencial de una función. Espacio tangente: Vectores tangentes como derivadas direccionales y como vectores velocidad. Expresión en coordenadas locales.  Diferencial de una función: Regla de la cadena. Teorema de la función inversa. Inmersiones y submersiones

3.       Construcción de variedades. Subvariedades: Inmersiones e incrustamientos. Cartas adaptadas. Subvariedades regulares. Producto de variedades: Definición. Estructura diferenciable del producto. Variedades cociente: Submersiones. Fibras de una submersión. Variedades cociente. Grupos discontinuos de transformaciones. La variedad cociente de las órbitas. Recubridores

4.      Campos Vectoriales. Nociones básicas: Definición como secciones del fibrado tangente. Definición como derivaciones. La derivada de Lie: La estructura de álgebra de Lie de los campos de vectores. Cálculos en coordenadas. Campos relacionados por una aplicación diferenciable. Sistemas dinámicos: Flujos locales. Integral general. Flujos de campos relacionados. Interpretación geométrica del corchete de Lie.

5.      Teorema de Frobenius y Grupos de Lie. Nociones básicas: Distribuciones. Hojas integrales de una distribución. Distribuciones involutivas. Teorema de Frobenius. Nociones sobre grupos de Lie: Algebra de Lie de un grupo de Lie. La aplicación exponencial. Subgrupos de un grupo de Lie. Los grupos clásicos. Distribución inducida por una subálgebra de Lie. Subgrupos y subálgebras de Lie. Cociente de un grupo de Lie por un subgrupo cerrado: Espacios homogéneos.

6.      Campos Tensoriales. Formas multilineales: Diferencial de una función real. Espacio cotangente. Formas lineales. Producto tensorial de formas lineales. Formas multilineales. Pullback. Derivada de Lie. Métricas (semi-)Riemannianas. Álgebra tensorial: Tensores y campos tensoriales. Producto tensorial. Derivada de Lie. Contracciones. Cálculos en coordenadas.

7.      Formas diferenciales. Cálculo exterior. Álgebra exterior: Formas diferenciales. Producto exterior. Calculo de Cartan: Producto interior y derivada de Lie. La diferencial exterior. Identidades notables.  Nociones sobre la Cohomología de De Rham: Formas cerradas y exactas. Los Grupos cohomología de Rham. Números de Betti e invariancia por difeomorfismos. Teoría de integración en variedades: Formas de volumen y orientación. Teoría de integración y recuerdos del Teorema de Stokes. Aplicaciones.

BIBLIOGRAFÍA BÁSICA:

JAVIER LAFUENTE. Cálculo en Variedades. Publicación interna del Departamento de Geometría y Topología. (2010)

JAVIER LAFUENTE. Introducción a la teoría de grupos de Lie. Publicación interna del Departamento de Geometría y Topología. (1998)

F.W. WARNER, Foundations of differentiable manifolds and Lie Groups. Springer- Verlag (1971).

R. ABRAHAM. J.E. MARSDEN. Foundations of Mechanics (Part. I) The Benjamín/cummings publishing company Inc. (1978).

F: BRICKELL AND R.S. CLARK. Differentiable Manifolds an introduction. Van Nostransd Rehinhold Company London (1970).

BIBLIOGRAFÍA DE CONSULTA:

SPIVAK. . A comprensive introduction to differential Geometry. (Vol. 1). Publish or Peris Inc.(1979)

NOEL J. HICKS, Notes on differential geometry. Van Nostrand Reinholds (1971)

B. O`NEIL. Semi-riemannian Geometry with applications to relativity. (Chap 1 to 4). Academic Press, 1983.

Volver a la página inicio de Docencia